Общие свойства t – норм и s — конорм

Интервалы определения : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

Интервал значений

Коммутативность

Ассоциативность ,

Монотонность

Если x=u и y=v, то

T(x,y)=T(u,v), S(x,y)=S(u,v)

Специальные значениями

T(0,y) = 0, S (0, y) = y;

T(1,y) = y, S (1, y) = 1;

Пары норм и конорм

Каждая функция со свойствами Т называется Т-нормой, или триангулярной нормой, а со свойствами S – S-конормой, или триангулярной конормой.

Для каждой пары справедливы следующие уравнения:

T(х, у)= 1 - S(1-х,1- у),

S(x, у) = 1 - Т(1- х, 1- у).

Каждая пара триангулярных норм и конорм, которые подчиняются обобщенным отношениям де Моргана, называется парой относительных триангулярных норм. Все функции принадлежности (как для И, так и для ИЛИ-связок нечетких зна­чений) выбираются такими же далекими друг от друга, как па­ры относительных триангулярных T-норм и S-конорм.

Т-нор­мы выбираются для И,

S-конормы — для ИЛИ.

Пары норм и конорм

T-норма: T(x, у)	S-конорма: S(x, у)
Усиленное произведение (х, у)	Усиленная сумма (х, у)
Ограниченная сумма (х, у)	Ограниченная разность (х, у)
Произведение Эйнштейна (х, у)	Сумма Эйнштейна (х, у)
Алгебраическое произведение (х, у)	Алгебраическая сумма (х, у)
Произведение (х, у)	Сумма Гамахера (х, у)
Минимум (х, у)	Максимум (х, у)

Почему функции назвали триангулярными?

Потому, что Т(х, у)= Т(у, х) и S(x, у) = S(y, х) определяются только в тре­угольной области .

Для любых заданных значений х и у справедлива следую­щая возрастающая последовательность:

0 ≤ произведение (х, у)≤ ограниченная разность (х, у) ≤ произведение Эйнштейна (х, у) ≤ ≤ алгебраическое произведе­ние (х, у) ≤ произведение Гамахера (х, у) ≤ минимум (х, у)≤

≤ максимум (х, у) ≤ сумма Гамахера ≤ алгебраическая сумма ≤ сумма Эйнштейна ≤ ≤ ограниченная сумма ≤ сумма ≤ 1.

Для любых двух T-норм и S-конорм (не только для одной из них) справедлива следующая последовательность:

0 <= Т(х, у) <= Т(1, у)<= y <= S(0, у) <= S(x, у) <= 1

25. Определения и-или-нейронов и нечеткой нейронной сети.

Т.к. в нечёткой логике «и», «или» может быть реализована с помощью любой T-нормы или S-конормы, то существует большое разнообразие нечётких логических «и-или» нейронов.

T(x, 1) = x

S(x, 0) = x

И-нейроном называется нейрон, в котором умножение веса w на вход x моделируется конормой S(w, x), а сложение нормой T(w, x). Для двухвходового И-нейрона справедлива формула:

Y = T(S(w₁, x₁), S(w₂, x₂)).

ИЛИ-нейроном называется нейрон, в котором умножение веса w и входа x моделируется нормой T(w, x), а сложение взвешенных весов конормой S(w, y). Для двухвходового ИЛИ-нейрона справедлива формула:

Y = S(T(w₁, x₁), T(w₂, x₂)).

Если выбрать в качестве T min, а S – max, то формула преобразования ИЛИ-нейрона уточняется следующим образом: max(min(w₁, x₁), min(w₂, x₂)).

В качестве ФА используют радиальную базисную функцию F(x) = exp(-b(x² - a)) .

Нечеткой нейронной сетью (ННС) называют четкую нейронную сеть прямого распространения сигнала, которая построена на основе многослойной архитектуры с использованием "И-", "ИЛИ-нейронов"