10. Обучение нс. Решение задачи аппроксимации.

С математической точки зрения процесс обучения НС, которая может выполнять только операции умножения, сложения и композиции функций за счет каскадирования, рассматривают как поиск аппроксимации за счет суперпозиции непрерывных функций.

Аппроксимация – приближение – научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Решают эту задачу за счет настройки матрицы весов. Можно строить сложные разделительные поверхности. В связи с тем, что нейронные сети решают задачу аппроксимации, они способны предсказать реакцию на никогда не предъявляемый им стимул, т. е. осуществить прогнозирование. НС широко используют для прогнозирования поведения различных финансовых и экономических индексов.

Нейронная сеть как универсальный аппроксиматор.

Эффективность аппарата НС определяется аппроксимирующими возможностями, причем НС являются универ­сальными функциональными аппроксиматорами. С помощью НС можно выразить любую непрерывную функциональную зависимость на основе обучения НС, без предварительной аналитической работы по выявлению правил зависимости выхода от входа.

В 1989 г. японским учёным Л. Фунахаши была доказана теорема об аппроксимации.

Теорема «о функциональном универсальном аппроксиматоре»

Пусть Y(t) – множество непрерывных монотонных возрастающих функций; К -- компактное множество R^N, а функция Y(t): К  R , дает на выходе конкретное число; тогда для любой функции F существуют массивы чисел W_i, W_ij, к-ые аппроксимируют функцию F:

, так что ,  E > 0, X  K

Эффективность аппроксимации с помощью нейронных сетей и систем нечеткого вывода.

Эффективность аппарата нейросетей определяется их аппроксимирующей способностью, причем НС являются универсальными функциональными аппроксиматорами. С помощью НС можно выразить любую непрерывную функциональную зависимость на основе обучения НС, без предварительной аналитической работы по выявлению правил зависимости выхода от входа.

Недостатком нейросетей является невозможность объяснить выходной результат, так как значения распределены по нейронам в виде значений коэффициентов весов. Основной трудностью в применении нечётких экспертных систем служит необходимость явно сформулировать правила проблемной области в форме продукции. В нечётких экспертных системах легко построить объяснение результата в форме протокола рассуждений. Поэтому в настоящее время создаются гибридные технологии, сочетающие преимущества нечётких систем и нейронных сетей.

Свойство универсальности применения систем нечёткого вывода доказано рядом следующих фундаментальных теорем.

В 1992 г. У. Ванг показал, что справедливо утверждение: если нечёткая импликация основана на операции min, функция принадлежности задаётся гауссовым распределением

И используется центральный метод дефазификации, то система нечёткого вывода является универсальным аппроксиматором.

В 1995 г. К. Кастро доказал справедливость следующей теоремы: если импликация основана на использовании произведения по Ларсену, а функции принадлежности треугольные, то при использовании центроидной дефазификации нечёткий контроллер является универсальным аппроксиматором.