45.Распознавание порядка полюсов f(z); поиск вычетов в полюсах.

Лема1:

Лкма2:

Лема3:

Лема4:Если т.А плюс n-го порядка ф-ии f(z) то вычет в т.А считаеться по формуле:

- основн фо-ла вычета в т. полюса

Лема5:Если где P, Q – многочленыне имеющ. Общих корней. То корни многочлена Q(z) и только они являються полюсами функции f(z) причем кратность этих корней равна порядку соотв полюсов.

Лема6: Если f(z) такова, что существ и конечен то тогда т. z=a являеться полюсом k-го порядка для функции f(z).

46. Вычисление интегралов по кривой от ФКП с помощью вычетов. Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла от ФКП по замкнутому контуру. Основная теорема о вычетах: Пусть f(z) непрерывна на замкнутой кривой Г и аналитивна в области Д границой которой служит Г. Кроме конечного кол-ва особых точек z1, z2, z3…zn, тогда интеграл по контуру Г вычисляеться с помощью вычетов

41 . Интеграл функции комплексного переменного. Свойства интеграла от аналитич. функции.

Интегралом от функции вдоль линии j, называется интеграл

Интеграл от функции комплексного переменного равен сумме 2х криволинейных интегралов второго рода от вещественных функции .

-интеграл по замкнутому контуру

Криволинейный интеграл второго рода не зависел от контура j, а определялся начальными и конечными точками.

Интеграл от аналитической функции во первых не зависит от контура интегрирования, а определяется начальной и конечной точкой этого контура.

Интеграл по замкнутой линии целиком лежащей в области D, будет равен 0.

Если аналитическая функция, то для нее справедливы все функции интеграла вещественного переменного.

43. Ряд Тейлора и Лорана.

Если функция разлагается в ряд , то этот ряд задается коэффициентами , т. е. является рядом Тейлора функции .

Пусть функция аналитична внутри кольца , где . Тогда существует и притом единственный ряд такой, что в каждой точке , где , его сумма равна : (1)

Ряд (1) называется рядом Лорана функции в кольце S.

34

45. Распознавание порядка полюсов f(z); поиск вычетов в полюсах.

Вычетом функции относительно точки (обозначается или ) называется число, равное

,

где - простой замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции и содержащий внутри себя только одну особую точку .

В качестве удобно брать окружность достаточно малого радиуса . Из определения следует, что вычет функции совпадает с коэффициентом разложения ее в ряд Лорана по степеням : . Отсюда следует, что вычет в устранимой особой точке равен нулю. Вычет в простом полюсе равен

.

Вычет функции в полюсе порядка равен

.

Если – существенно особая точка функции , то для определения необходимо найти коэффициент в лорановском разложении функции в окрестности точки .

Теорема Коши о вычетах. Если функция - аналитическая на границе области и внутри области, за исключением конечного числа изолированных особых точек , то

33