3. Метод підстановки або заміни змінної інтегрування

У багатьох випадках введення нової змінної інтегрування дозволяє звести знаходження шуканого інтеграла до табличного, тобто перейти до безпосереднього інтегрування. Такий метод називається методом підстановки, або заміни змінної.

Теорема (про інтегрування за допомогою підстановки). Нехай F(x) первісна функції f(x) на проміжку Х, тобто

,

а функція х=(t) визначена і диференційована на проміжку Т, множиною значень якої є проміжок Х. Тоді справджується рівність

.

Доведення. Згідно з правилом диференціювання складеної функції, маємо:

,

а ця рівність на підставі першої властивості невизначеного інтеграла і доводить теорему.

Нехай інтеграл не є табличним. Тоді для його знаходження доведена теорема застосовується одним з таких двох способів.

1. Припустимо, що від підінтегральної функції f(x) можна відокремити функцію таку, що підінтегральний вираз запишеться у вигляді

.

Тоді за теоремою маємо

.

Якщо інтеграл у правій частині зводиться до табличного, то для нього можна записати первісну G(t) або G((x)) і тоді

.

При цьому може бути зручним формалізований запис:

.

Або запис у формі введення функції під знак диференціала

.

Тут диференційована функція (х) є змінною інтегрування.

2. При знаходженні невизначеного інтеграла користуються підстановкою x=(t), де функція (t) є диференційованою t T, /(t)0 t T і має обернену функцію t=-1(x).

Таким чином, приходимо до попередньої підстановки.

При цьому формалізований запис буде таким:

Отже, при інтегруванні заміною змінної виконуються підстановки двох видів: t=(х) і х=(t). Підстановки треба підбирати так, щоб одержані після перетворень нові інтеграли зі змінною інтегрування t були табличними. І після їх знаходження від введеної змінної інтегрування t потрібно перейти до заданої змінної інтегрування х.

Розглянемо приклади.

1. Знайти .

Розв'язання. Скористаємося формалізованим записом:

.

Або

Тобто, якщо в чисельнику маємо похідну знаменника, то однією з первісних є логарифм модуля знаменника.

Наприклад:

оскільки (sinx)/=cosx, то ;

оскільки (1+х2)/=2х, то .

2. Знайти .

Розв'язання. По-перше, можна застосувати підстановку t=x2, звідки dt=2xdx, .

Підставимо в інтеграл і матимемо

Повернемося до попередньої змінної х

.

По-друге, можна ввести функцію під знак диференціала, тобто записати

xdx=.

Тоді на підставі властивості інваріантності маємо

.

3. Знайти .

Розв'язання. Якщо підінтегральний вираз помножити -2, а -1/2 винести за знак інтеграла, то в чисельнику матимемо повний диференціал підкореневого виразу і за третьою формулою таблиці одержимо:

.

Або

4. Знайти .

Розв'язання. Покладемо t=ex, х=lnt. Звідси . Отже,

.

Повертаючись до змінної х, остаточно маємо I=2ln(1+ex)-x+C.

5. Знайти інтеграл x[-a,a].

Розв'язання. Застосуємо тригонометричну підстановку х=asint, . Функція x=asint монотонна і має неперервну похідну x[-a,a]. При цьому, коли t змінюється від до , змінна х змінюється від -а до а. Далі маємо dx=acostdt. Отже,

.

Знов одержали не табличний інтеграл.

Перетворимо його. Оскільки , то

.

Тут

а

, де .

Для повернення до змінної х, з рівності х=asint, знаходимо

(cost0, t).

Тоді

, .

Підставивши, остаточно отримуємо

.

Формалізований запис у даному випадку такий