10.1) Застосування диференціалу до наближених обчислень.

Диференціалом функції у = f(х) (або диференціалом першого порядку) на­зивається добуток похідної цієї функції f'(х) на довільний приріст аргументу x:

dy = f'(х) х.

Диференціал аргументу дорівнює приросту аргументу: dx = x. Тому диферен­ціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал аргументу:

dy =f'(x) dx.

Диференціалом другого порядку називається диференціал від диференціала першого порядку:

d²y = f’’(x) dx²,

тобто диференціал другого порядку функції у = f(х) дорівнює добутку другої по­хідної цієї функції на квадрат диференціала аргументу.

Абсолютна і відносна похибки. Розглянемо функцію у = f(x). Припустимо, що величина х добута безпосереднім вимірюванням або внаслідок наближеного об­числення. Тоді при знаходженні величини х ми припускаємо незалежну від нас по­хибку x.

Нехай х — наближене значення аргументу (вимірюваної величини), х — абсолют­на похибка величини х,    — відносна похибка величини х, а х+x — істинне зна­чення вимірюваної величини (x може бути як додатним, так і від'ємним числом).

Тоді х визначає наближене значення функції f(х), а. х+x — істинне її значен­ня f(x+x), звідки випливає, що абсолютна похибка функції

|у| = |f(x+x) – f(x) |.

При малих значеннях x (близьких до нуля) величину у можна наближено замінити диференціалом dy.

y = f(x+x) - f(x) » f'(x) dx = dy.

Вигода заміни приросту функції у її диференціалом dy полягає в тому, що dy залежить від x лінійно, а у є складнішою залежністю від x.

Припускаючи, що y » dy, дістанемо вираз для відносної похибки величини у:

Обчислення наближеного значення приросту функції за допомогою диферен­ціала. Нехай дано функцію y=f'(x); приріст цієї функції у = f(х+х) — f(x), її диференціал dy = f’(x)dx. При досить малих (близьких до нуля) приростах аргу­менту х вважатимемо, що

y » dy.

тобто, що приріст функції наближено дорівнює її диференціалу.

 

Обчислення наближеного числового значення функції. Нехай дано функцію y = f(x): приріст цієї функції у = f'(x+x)—f(x), її диференціал dy = f'(x)dx. При досить малих х маємо x » dy. Замінивши приріст функції її диференціалом, дістанемо

f^t(x)dx » f(x+x) — f(x),

звідки

f(x+x) » f(x) + f'(х) х.

Застосувавши цю формулу можна значно простіше знайти числове значення функції; геометричне це відповідає заміні ділянки кривої відрізком дотичної.

 

Наближене обчислення степенів. Розглянемо функцію f(х) = xⁿ. Нехай аргу­мент х набуває малого приросту х. Обчислимо наближене значення функції f(х+x) = (x+x)ⁿ:

f(x+x) » f(x) + f’(x) x.

Маємо:

f(х+x) = (х + x)n; f(x) = xⁿ; f’(х)x = nx^n-1x,

звідки

(x+x)ⁿ » xⁿ + nx^n-1x.

Окремі випадки формули: 1) п = 2, (x+x)² » x² + 2xx; 2) п = 3,  (х+ Dx)³ » x³ + 3x²x; 3) x = 1, (1 + x)ⁿ » 1 + nx.

 

Наближене обчислення коренів. Розглянемо функцію f(х)=  Нехай аргумент х набуває малого приросту х. Обчислимо наближене значення функції f(x+x) =  . Маємо:

звідки

Окремі випадки формули:

1) n = 2, 

3) x=1, 

 

Наближене обчислення обернених величин. Розглянемо функцію f(x) = 1/х.

Нехай аргумент x: набуває малого приросту x. Обчислимо наближене значення функції f(x+x) =  . Маємо:

f(x+x) = 

звідки

Окремі випадки формули:

1) x < 0, 

3) x=1 i x<0, 

 

Наближене обчислення синусів і тангенсів малих кутів. Нехай для функції f(x)=sin x аргумент х=0 набуває малого приросту х. Обчислимо наближене зна­чення функції:

f(х+х) = sin(х+x) = sin(0 + x) = sin x.

Застосовуючи формулу для обчислення наближеного значення функції, маємо:

f(х+х) = sinx; f(х) = sin х = sin 0 = 0;

f’(х)x = cosхх = cos 0 · х = x,

звідки

sin х » 0 + х; sin x » x.

Синус малого кута наближено дорівнює самому куту (кут береться в радіанній мірі).

Аналогічно можна показати, що справджується наближена рівність

tgx » x,

тобто тангенс малого кута наближено дорівнює самому куту (кут береться в радіан­ній мірі).

2)рівняння дотичної та нормалі до графіка функції

Нехай функція у = f (t) означена і неперервна на деякому проміжку [a; b]. Визначимо рівняння дотичної й нормалі до графіка функції у = f (x) у точці з абсцисою .

Оскільки дотична й нормаль проходять через точку з абсцисою х0, то рівняння кожної з них будемо шукати у вигляді рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 (х0; у0) у даному напрямі (рис. 4.4):

, (4.2)

де k кутовий коефіцієнт дотичної. Використовуючи геометричний зміст похідної, маємо .

Рис. 4.4

Рівняння дотичної. Оскільки , то з виразу (4.2) ді- станемо рівняння дотичної у вигляді

. (4.3)

Рівняння нормалі. Означення. Нормаллю до графіка функції в точці М0 називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці (рис. 4.4).

Використовуючи умову перпендикулярності дотичної та нормалі, знаходимо кутовий коефіцієнт нормалі і записуємо її рівняння у вигляді

. (4.4)

Приклад. Знайти рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х2 у точці з абсцисою х0 = – 3.

l Знайдемо похідну від заданої функції , звідси .

Рівняння дотичної (4.3) і нормалі (4.4) запишуться так: або у загальному вигляді: 6х + у + + 9 = 0, х – 6у + 57 = 0.

Залежність між неперервністю і диференційовністю функції

Функція у = f (x) є неперервною в точці х, якщо у цій точці .

Означення. Функція у = f (x) називається диференційовною в точці, якщо у цій точці вона має похідну, тобто якщо існує кінцева границя:

.

Означення.Функція у = f (x) називається диференційовною на інтервалі (а; b), якщо вона диференційовна в кожній точці даного інтервалу.

Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функції встановлює теорема.

Теорема. Якщо функція диференційовна в деякій точці, то у цій точці функція неперервна.

Обернене твердження неправильне: для неперервної функції може не існувати похідної.

Справді, нехай функція диференційовна в точці . Запишемо тотожність , звідси 

Таким чином, функція неперервна в точці .

Рис. 4.5

Наслідок. Якщо функція розривна в деякій точці, то вона не має похідної в цій точці.

Прикладом неперервної функції, що не має похідної в одній точці, є функція (рис. 4.5). Ця функція неперервна при х = 0, але не ди- ференційовна для цього значення, оскільки в точці з абсцисою х = 0 не існує дотичної до графіка функції.

Таким чином, необхідною умовою диференційовності функції у = f (х) у точці х є її неперервність у цій точці.

Основні правила диференціювання

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то .

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

.

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

, де .

Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу .

Зауваження. Похідну від функції , де , зручно обчислювати як похідну від добутку сталої величини на функцію u (x):

.

Приклад. Обчислити похідну для функції у = tg x.

Таким чином, .

Похідна складної функції. Нехай у = f (u), де , тобто . Функція f (u) називається зовнішньою, а функція — внутрішньою, або проміжним аргументом.

Теорема 6. Якщо у = f (u) та — диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює .

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

Похідна неявної функції. Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція — диференційовна.

Продиференціювавши за х обидві частини рівняння F (x; y) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції.

11.

1) Похідна складеної функції Якщо функція має похідну в точці х, а функція – має похідну в точці , тоді складена функція диференційовна в точці х, причому

 або 

Наведене правило обчислення похідної складеної функції застосовується і для композиції довільного скінченого числа функцій.

Наприклад, для складеної функції виду  , де  ,  ,   – диференційовні у відповідних точках функції, має місце рівність

.

Якщо неперервна та строго монотонна в деякому околі точки х функція має похідну в цій точці, тоді обернена функція в точці у має похідну, причому

.

3) Логарифмічне диференціювання

Якщо маємо громіздкі вирази, що містять добутки, частки, степені, то перш, ніж знаходити похідну, вираз рекомендується прологарифмувати.

Приклад 1. Знайти похідну функції  .

Розв’язання. Прологарифмуємо функцію:

Знайдемо похідну від лівої та правої частин:

звідки

Такий же спосіб використається для знаходження похідної так званої степенево-показникової функції

.

2) Якщо функція y f u = ( ) має похідну в точці u , а функція u g x = ( ) – в точці x ,

то складена функція y f g x = ( ( )) диференційована в точці x , причому

( ) ( )

' ' '

y  f u  g x

Іншими словами, похідна складеної функції y f u = ( ) , u g x = ( ) дорівнює добутку

похідної від зовнішньої функції, взятої по внутрішньому аргументу u , і похідної

від внутрішньої функції, взятої по незалежній змінній x . Якщо u x( )- диференційовна в точці x функція, то виконуються такі формули

диференціювання складених функцій :

                           (1)

                                         (2)

                               (3)

                                                  (4)

                                          (5)

Похідні основних елементарних функцій

                                             (6)

                      (7)

                                 (8)

                                                      (9)

                                  (10)

                                (11)

 (12)

     (13)

            (14)

         (15)

                             (16)

                         (17)

             (18)

          (19)

                             (20)

                          (21)

12. Похідні та диференціали вищих порядків

(higher derivative, higher-order differential)

 

Нехай функція   диференційовна на проміжку X, а    її похідна, яка також є функцією відносно x. Від цієї функції знову можна шукати похідну за умови, що вона існує на заданому проміжку. Похідна від похідної   називається похідною другого порядку (second-order derivative) функції   і позначається одним із символів:

 

.

 

Так у фізиці, якщо    закон, за яким змінюється пройдений шлях при прямолінійному русі точки, то   є прискоренням (acceleration) цієї точки в момент часу t.

 

Аналогічно   і т. д.

 

Взагалі похідною n-го порядку від функції   називається похідна від похідної  -го порядку і позначається

 

, або  , або  .

 

Зауваження. При  , похідну n-го порядку позначають відповідно  ; при   позначають:   або  .

Приклад 3.17. Знайти похідну другого порядку від функції

 

.

Розв’язання. Знаходимо спочатку   за формулою  .

 

 

.

 

Знаходимо похідну від отриманої функції:

 

 

, тобто  .

 

 

Приклад 3.18. Знайти похідну n-го порядку від функції  .

Розв’язання.

.

Формула Лейбніца. Якщо функції  ,   мають похідні до n-го порядку включно, то для обчислення похідної n-го порядку від добутку цих функцій використовують формулу Лейбніца:

.         (3.14)

 

Похідні вищих порядків від функцій, заданих параметрично. Якщо функції   і   параметрично задають функцію  , то похідні  ,  , можна послідовно обчислити за формулами:

 

,   і т. д.

 

Так, для похідної другого порядку має місце формула:

 

.                               (3.15)

 

Приклад 3.19. Знайти похідну   функції  , заданої параметрично:  ,  .

Розв’язання.

 

.

 

за формулою (3.15)

 

.

 

Диференціали вищих порядків. Нехай функція   диференційовна на проміжку X. Її диференціал

 

 

називається також диференціалом першого порядку і його можна розглядати як функцію змінної x(приріст аргументу   вважається сталим).

Означення 3.4. Диференціалом другого порядку (second differential) функції   в точці xназивається диференціал від її диференціала першого порядку (за умови, що повторний приріст незалежної змінної x збігається з попереднім  ) і позначається  :

 

.

 

За означенням маємо

 

,

 

позначають  . Таким чином

 

.                                     (3.16)

 

Аналогічно, диференціалом n-го порядку (позначається  ), n=2,3,... називається диференціал від диференціала порядку   за умови, що в диференціалах весь час беруться одні й ті самі прирости   незалежної змінної x. Тобто

 

.

 

При цьому справедлива формула:

 

.                                     (3.17)

 

 

Приклад 3.20. Обчислити  , якщо  .

Розв’язання. Скористаємось формулою (3.16). Для цього знайдемо  :

,  .

 

Отже

13. 1.) Позначимо через D деякий безліч точок в п-мірному просторі.  Якщо задано закон f , В силу якого кожній точці М (х   ;...; Х   )    D ставиться у відповідність число і, то говорять, що на безлічі D визначена функція і = f (х   ;...; Х   ).  Безліч точок М (х   ;...; Х   ), Для яких функція і = f (х   ;...; Х   ) Визначена, називають областю визначенняцієї функції і позначають D (f).  Функції багатьох змінних можна позначати одним символом і = f (М), вказуючи розмірність простору, якому належить точка М.  Функції двох змінних можна зобразити графічно у вигляді деякої поверхні.  Графіком функції двох змінних z = f (х; у) у прямокутній системі координат Оху називається геометричнемісце точок у тривимірному просторі, координати яких (х; у; z) задовольняють рівнянню z = f (х; у).  2.) Позначимо через   (М; М   ) Відстань між точками М і М   . Якщо п = 2, М (х; у), М   (Х   ; У   ), То   (М; М   ) =   .  У п-мірному просторі   (М; М   ) =   .  Нехай на множині D задано функцію і = f (М).  Число А називається границею функції і = f (М) в точці М   , Якщо для довільного числа   > 0 знайдеться таке число   > 0, що для всіх точок М    D, які задовольняють умові 0 <   (М; М   ) <   , Виконується нерівність   .  Властивості границь функції однієї змінної зберігаються і для функцій багатьох змінних, тобто якщо функції f (М) і g (М) мають в точці М   кінцеві межі, то  1.   = З   ,          2.   =   ,  3.   =   .  4.   якщо   .  Зауважимо, що якщо межа   існує, то він не повинен залежати від шляху, по якому точка М прагне до точки М   .  Функція і = f (М) називається безперервної в точці М   , Якщо   = F (М   ).  Функція і = f (М) називається безперервної на безлічі D, якщо вона неперервна в кожній точці М   D.         Точки, в яких безперервність функції порушується, називаються точками розриву функція. Точки розриву можуть бути ізольованими, створювати лінії розриву, поверхні розриву і т. д.

3) 1 Частинні похідні

Нехай функція визначена в деякому околі точки .  Надамо змінній x приросту, залишаючи змінну незмінною, так, щоб точка належала заданому околу.

Величина

називається частинним приростом функції за змінною x.

Аналогічно вводиться частинний приріст функції за змінною:

.

Якщо існує границя

,

то вона називається частинною похідною функції в точці за змінною x і позначається одним із таких символів:

.

Аналогічно частинна похідна функції за визначається як границя

і позначається одним із символів:

.

Згідно з означенням при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної x, вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна x. Тому частинні похідні знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функцій однієї змінної.

Частинна похідна (або) характеризує швидкість зміни функції в напрямі осі (або).

З'ясуємо геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних. Графіком функції є деяка поверхня (рис 1). Графіком функції є лінія перетину цієї поверхні з площиною. Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної, отримаємо, що, де- кут між віссю і дотичною, проведеною до кривої в точці. Аналогічно.

Рисунок 1 - Геометричний зміст частинних похідних

Для функції n змінних можна знайти n частинних похідних:

,

де

,

.

Щоб знайти частинну похідну, необхідно взяти звичайну похідну функції за змінною, вважаючи решту змінних сталими.

Якщо функція задана в області і має частинні похідні в усіх точках, то ці похідні можна розглядати як нові функції, задані в області.

Якщо існує частинна похідна за x від функції, то її називають частинною похідною другого порядку від функції за змінною x і позначають або .

Таким чином, за означенням

або.

Якщо існує частинна похідна від функції за змінною, то цю похідну називають мішаною частинною похідною другого порядку від функції і позначають, або.

Отже, за означенням

або .

Для функції двох змінних можна розглядати чотири похідні другого порядку:

.

Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції, їх вісім:

.

Виникає запитання: чи залежить результат диференціювання від порядку диференціювання? Інакше кажучи, чи будуть рівними між собою мішані похідні, якщо вони взяті за одними і тими самими змінними, одне й те саме число разів, але в різному порядку? Наприклад, чи дорівнюють одна одній похідні

і або і?

У загальному випадку відповідь на це запитання негативна.

Проте справедлива теорема, яку вперше довів К.Г.Шварц.

Теорема (про мішані похідні). Якщо функція визначена разом із своїми похідними в деякому околі точки , причому похідні та неперервні в точці, то в цій точці

.

Аналогічна теорема справедлива для будь-яких неперервних мішаних похідних, які відрізняються між собою лише порядком диференціювання.