28.Выпуклость графика функции и точки перегиба.

Пусть f(x) дифференцируема на интервале (а;b) тогда f(x) называется выклая вниз(вверх) если график f(x) в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой касательной проведенной в точках интервала (a;b)

Определение: Пусть y=f(x) дифференцирума на (a;b) и С принадлеж (a;b). Точка М с координатами (с,f(c)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x)

Если существует такая окрестность Uб(с) в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от С имеет разное направление выпуклости.

29.Достаточное условие выпуклости функции.

Пусть y=f(x) имеет вторую конечную производную на интервале (a;b) тогда если 1) f’’(x)>=0 na (a;b) то график функции y=f(x) имеет выпуклость направленную внизу на (a;b 2) f’’(x)<= 0 на (a;b) то график функции y=f(x) имеет выпуклость направленную вверх на (a;b);

Достаточное условие точки перегиба.

Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в интервале (a;b) и при переходе через точку С принадлеж (a;b) f’’(x) меняет знак то точка М(c,f(c)) точка перегиба графика функции y=f(x)

30. Асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты. Пример x-2/x-1

Наклонные асимптоты. y=kx+b называется наклонной асимптотой графика y=f(x) при х +∞ если Lim(f(x)-kx-b)=0

Теорема. Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) тогда и только тогда когда k=Lim f(x)/x b=lim [f(x)-kx]

31. Интегрирование. Первообразная функции и ее свойства.

Первообразная. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на интервале (a;b) если F’(x)=f(x) для Х э (a;b). Все первообразные к одной и тойже функции отличаются только на константу. Если F(x) первообразная для f(x) то по определениию неопределенным интегралом называют ∫f(x)dx=F(x)+C;

Интегрирование. Это операция обратная дифференцирования поэтому из таблицы производных можно получить некие элементы таблицы интегрирования.

32.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

Свойства. 1) ∫alpha f(x)+ beta g(x)) dx= alpha ∫f(x) + beta ∫ g(x) 2)( ∫f(x) dx)’=f(x) 3) d(∫f(x)dx)=f(x)dx 4. ∫dF(x)=F(x)+C

Таблица…

33.Методы интегрирования. Метод подстановки.

Метод подстановки. Замена переменной.

Теорема. Пусть функция x=Fi(t) определена и дифференцируема на некотором интервале Т а множество Х- множество значений этой функции

Х=Fi(T) на котором определена функция f(x) тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную то на множестве Т справедлива формула ∫f(FI(t))*Fi’(t)dt

Доказательство. Пусть F(x)- первообразная для f(x) на Х т.е F’(x)=f(x) это определение первообразной тогда рассмотрим F(fi(t)), t эT это сложная функция то F(fi(t))’=F’[Fi(t)]*FI(t)=f[fi(t)]*Fi’(t)dt=F[fi(t)]+C=f[Fi(t)]*Fi’(t)

Теперь Х= Fi(t) тогда = F(x)+C= ∫f(x)dx

34.Методы интегрирования. Метод интегрирования по частям.

Пусть функция U(x) и V(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х. И функция U’(x) на V(x) имеет первообразную на этом промежутке тогда на Х функция U(x)*V’(x) также имеет первообразную и справедлива формула: ∫U(x)*V’(x)dx=U(x)V(x)-V(x)U’(x)dx;

Доказательство. Из равенства берем производную произведения [U(x)V(x)]’=U’(x)V(x)+U(x)V’(x) интегрируем обе части

∫[U(x)V(x)]’dx=∫U’(x)V(x)dx+∫U(x)V’(x)dy первообразная для производной является сама функция значит первообразная для [U(x)V(x)]’ является U(x)V(x) =>

∫U(x)v’(x)dx=U(x)V(x)- ∫V(x)U’(x)dx заметим что V’dx=dU(x) U’(x)dx=dU(x)=> ∫U(x)dV(x)=U(x)V(x)- ∫Vdu

35.Интегрирование рациональных функций.

R(x)=P(x)/Q(x), P(x) и Q(x) многочлены. Если degP(x)>= deg Q(x) то можно поделить углом

P(x)/Q(x)=W(x)+P1(X)/Q(x) deg P1(x)<deg Q(x) далее пример метода неопределенных коэффициентов.

36.Частные производные функций нескольких функций.

Пусть числовая функция U=f(x;y) M0(x0;y0) Lim f(x0+delta x);delta(y))-f(x0;y0)/delta(x)=du/dx

Частная производная функции U=f(x;y) по X

На самом деле частная производная по Х = обычной производной по Х считая Y=const;

37.Производные сложной функции нескольких переменных.

Пусть есть функция U=U(x;y) где х=х(t) y=y(t)

1)du/dt=du/dx*x’(t)+du/dy*y’(t) (1)

2) z=F(x;y)

X=(U,V) тогда dz/du=dz/dx*dx/du+dz/dy*dy/du

Y=(U,V) dz/dv=dz/dx*dx/dv+dz/dy*dy/dv

38.Смешанные производные. Полный дифференциал функций нескольких переменных.

D^2U/dxdy=d/dx(du/dy) формула смешанных производных.

Производные по Х второй степени. D^2/dx^2=d/dx(du/dx) вторая частная производная.

Полный дифференциал функции. U=f(x;y) dU=(du/dx)dx+(du/dy)dy=dt/dx)dx+dt/dy)dy

Du/dx)delta(x)+du/dy)delta(u)

Второй дифференциал в случае когда x b y независимые переменные он равен d^u=d^2u/dx^2)dx^2+2(d^2u/dxdy)dxdy+(d^2u/dy^2)dy^2

D^mU=((d/dx)dx+(d/dy)dy)^m*U