18. Геометрический смысл дифференциала и производной.Таблица производных.

Y=f(x) y=f(x0) delta(x)->0 cereifz M0*M примет предельное положение Tg<MM0A->Tg Alpha

F’(x) равно тангенсу угла наклона косательной к оси Ох Lim (f(x0+delta(x))-f(x0)/delta(x)=f’(x0)

Дифференциал обзначают через dy=df(x0)=a*delta(x). Для того чтобы функция y=f(x) была дифференцирована в точке х0 необходимо и достаточно чтобы f’(x) имела производную f’(x0) и тогда дифференциал записывается в виде: dy=df=f ‘(x0)*delta(x) а поскольку в частности y=x, dy=1*delta(x) тогда dy=1*delta(x) то приращение функции delta f(x)=(x+delta(x))-x=A*delta(x)+O(delta(x)); f(x)=x dx=1*delta(x) тогда dy=f’(x)dx g=f(x) + таблица производных.

19.Производная обратной функции.

Пусть y=f(x) f: x->y то y->x: yf(x) f^-1(y)=x  f(x)=y

Теорема. Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х0 и f’(x0)!=0 и если существует обратная функция х=f^-1(y) то производная оказывается равна

F^-1(y)|=1/f’(x0) f^-1(y)=sqrt(y);

Доказательство. Пусть у нас имеется прямая функция y=f(x) и обратная x=f^-1(y). По определению y’=f ‘(x) = Lim f(x+delta(x))-f(x)/delta(x)= Lim delta(y)/delta(x)

С другой стороны (f^-1(y))’=Lim delta(x)/delta(y)=Lim 1/delta(y)/delta(x)=1/Lim delta(y)/delta(x)= 1/f’(x);

20. Теорема о производной сложной функции.

Теорема. Пусть функция t=Fi(x) имеет производную в точке х0 а функция y=f(t) имеет производную в точке t0=Fi(x0) то сложная функция y=[f(fi(x))] имеет производную в точке х0 и справедливо соотношение: f[fi(x)]’ = f’ [fi(x)]*fi’(x);

21. Дифференциалы высшего порядка.

Пусть функция y=f(x) n- раз дифференцирована в окрестности точки Х. Тогда дифференциалом первого порядка du=f’(xdx) возникают две ситуации

1)Пусть сначала Х независимая переменная

2)Х- Зависимая переменная

Временно обозначим дифференциал функцией через Дельта т.е Дельта Fi(x)=Fi(x(Дельта*Х)). Тогда по определению дифференциал 2го порядка считаем Дельта(dy) в точке Дельта (dy)= Дельта(F’(xdx))

Пусть Х- независимая переменная то d(x)=xdx=1dx dx-считается константой Дельта(dx)=0

Delta(dy)=Delta(f(x)dx))=Delta’(f(x)dx)=f’’(x(dx))^2

Определение: Тогда d^2*y=f’’(x(dx))^2 и так далее по аналогии. N-ый дифференциал функции y=f(x) в случае х-независимая переменная считается по формуле

d^n*y=f^(n)*(xdx)^n (1). Замечание принято (dx)^n=dx^n

d^n*y=f^n(x)dx^n

В случае 2) х-зависимая переменная то второй дифференциал d^2y=Delta(f’’(x)dx)+f»(x)d^2x (2)

Т.е для n=2 формула 2 и 1 не совпадает и второй дифференциал не обладает свойством инвариантности в отличии от первого дифференциала для n-го вообще нет.

.

22.Производные функции заданные параметрически. Формула лейбница.

Пусть функция y=f(x) в интервале x принадлеж (a,b) и имеется замена Х=Fi(t) где t принадлеж (alpha,beta) тогда пара функций х=Fi (t) и y=f(FI(t)) где t принадлеж (a,b)

Задают исходную функции y=f(x) введя обозначение t(FI(t))=Psi(t) (пси от Т). Тогда t(x) задается параметрически y=psi(t) x=Psi(t) t э (alpha,beta);.. см конспект.

Формула лейбница.