15.Непрерывность и точки разрыва функции.

F(x) – называется непрерывной в точке А принадлеж D(f) из области определения функции если существует Lim f(x)=f(a)=f(Lim x) при х->a

Функция f(x) называется непрервыной в точке А если для любого Е>0 существует Дельта=Дельта(Е)>0 такое что |x-a|<дельта => |f(x)-f(a)|<E

f(x) непрерывна справа в точке А если Lim f(x) при х->a+0 непрерывна слева в точке А если х<a Lim f(x)=f(a)

Замечание f(x) непрерывна на множестве А обозначается так f(x)э С(А)

Точки в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва функции.

Классификация точек разрыва: 1) Если существует Lim f(x) при х->a-0 и Lim f(x) при х->а+0 конечные пределы и они не равны то точка “0” называется точкой разрыва первого рода функции f(x). 2)Хотябы один из односторонних пределов не существует или бесконечен то точка А называется точкой разрыва второго рода функции f(x).

Замечание: Точка А называется точкой устранимого разрыва если А не входит в область определения то Lim слева неравен Lim справа.

16. Основные теоремы о свойствах непрерывной функции( Вейерштрасс и Коши)

Теорема 1 Вейерштрасса. 1) Всякая функция y= f(x) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве Х в частности на орезке X=[A;B] и ограничена на этом множестве.

2) Всякая функция y=f(x) непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве Х достигает на этом множестве своих точек верхней и нижней граней.

Пусть m = inf f(x) инфиум a М супремум M=sup f(x) на отрезках [a,b] то существует X1 X2 э [a;b] f(x) = m f(x2)=M

Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.

Теорема. Пусть y^2f(x) непрерывна на связном множестве X и f(a)=a f(b)=b где А и Б принадлежат Х тогда если Cб: А<=Cб<=B. То существует Сm принадлеж Х

Такое что f( c) = C и как следствие функция проходит через все свои промежуточные значения. Для непрерывных функций супремум заменяется max инфиум заменяется min. Множество А из R^1 на числовой прямой называется связанным если для любого Б принадлеж А [a,b] принадлеж А

Непрерывность обратной функции. Если y=F(x) непрерывна и строго монотонно возрастает на связном множестве Х то обратная функция х=f(y)^-1 непрерывна и строго монотонна. Непрерывность сложной функции. Пусть функция Z=Fi(x) определена и непрерывна на некотором множестве Х а функция y=F(z) определена и непрерывна на множестве Z а Z это есть обрез всего множества Х то сложная функция y=F(fi(x)) определена и непрерывна на Х.

Равномерная непрерывность функции на множестве. Функция y=f(x) называется равномерно непрерывной на множестве Х

Из области пределения если для любого E>0 существует Дельта=Дельта(Е) такое что для всех х’ x” такие что x’-x”<дельта

F(x’)-f(x”)<E Теорема Кантора. Всякая непрерывная функция на ограниченном замкнутом множестве и равномерно непрерывна на этом множестве

Sup|f(x)-f(y)|<E.

17. Дифференцируемость. Дифференциал функции.

Если существует предел Lim f(x)-f(a)/(x-a) называется производной функции f(x) в точке А и обозначается F’(a)= Lim f(x)-f(a)/(x-a) при х->a

Замечание. X-a=delta Х x=a+delta(x) f’(a)=f(a+delta(x))-f(a)/delta(x). Если приращении функции f(x) в точке А представимо в виде Delta f(a)=const*delta(x)+O(delta(x))

o-малое const – постоянная независимая от delta(x) то функция называется дифференцируемой в точке А и главная линейная часть приращается отностиельно delta(x)

называется дифференциалом функции f(x) в точке А.