11.Основная теорема о пределах.

Теорема. Для того чтобы существовал предел Lim f(x) =A (1) необходимо и достаточно чтобы в некоторой окрестности точки А имело место f(x)=A+a(x) (2) где a(x) бесконечно малая при x->a.

Доказательство. 1) Необходимость Пусть существует Lim f(x)=A означает по определению для любого E>0 существует Дельта=Дельта(Е)>0 такое что (х: 0<|x-a|<дельта)

• |f(x)-A|<E то положив а(х) =f(x) –А что значит а(х) бесконечно малая при х->a

2)Достаточность. Пусть f(x)=A+aльфа(x) где альфа(х) бесконечно малая при х->a тогда для любого Е>0 существует Дельта=Дельта(Е)>0 такое что для всех

Х: 0<|x-a|<дельта следует что |a(x)|<E => |f(x)-A|<E то определенно существует Lim f(x)=A при х->a.

12. Первый замечательный предел.

Теорема существует предел Lim sinx/x=1 при х->0 Дказательство. Рассмострим окружность радиусом R=1 с центром в точке 0. X- радиальная мера угла 0<x<π/2

OA=OM=1 SinX=MK/OM=MK/1=MK

TG(x)=AT/OA=AT/1=AT Очевидно Площадь треугольника MOA < Меньше площади сектора MOA а это меньше площади треугольника TOA т.е

S треуг MOA<=S сектора MOA<=S треуг TOA площадь треуг MOA S=1/2*OA*MK=1/2*mk=1/2*sin(x)

Площадь треугольника TOA S=1/2*OA*AT=1/2*AT=1/2*tg(x). Площадь сектора MOA=1/2*x*R Sсектора MOA=1/2*OA*AM=1/2*x из соотношения

½ *sinx<=1/2x<=1/2tgx сократим ½ получаем sinx<=x<=tgx | sinx>0 1<x/sinx<=tgx/sinx=1/cosx перевернем получаем 1>sin/x>cosx/1 поскольку cosx четная функция,

Sin/x-четн. То равенство верно и при 0>x>=π/2 или –π/2<x<0 и поскольку Lim cosx=1 то переходя к неравенству по теореме о трех функциях сущ Lim Sinx/x=1

Замечание. Lim cosx=1 доказательство = 1-cosx=2sin^2 x/2 => для любого E>0 сущ такое Дельта=Дельта(Е)=SQRT(2E)>0 такое что для любого x: 0<|x|<Дельта =>

|1-cosx|=2|sin^2 x/2|<2(x/2)^2=x^2/2=|x|^2/2<sqrt(2*E)^2=E => существует предел Lim cosx=1.

13 Второй замечтельный предел.

Теорема существует Lim(1+1/x)^x=e при X->∞ Доказательство. Считаем известным что Lim(1+1/n)^n=e. Пусть х>1 то N=[x] целая часть числа x, т.е х=n+альфа где альфа 0<=альфа<n+1 . По определению целой части N<=X<n+1 тогда получим 1/n+1<1/<=1/n прибавим ко всем единицу получаем 1+1/n+1<1+1/x<=1+1/n

(1+1/n+1)^n<(1+1/x)^x<(1+1/n)^n+1 (*) Lim(1+1/n)^n+1=Lim(1+1/n)^n*Lim(1+1/n).=e

Lim(1+1/n+1)^n = Lim(1+1/n+1)^n+1/(Lim(1+1/n+1)=e/1=e тогда в соотношении * переходя к пределу при Х->+∞ => n->x->+∞ по теорем о трех функциях

(1+1/n+1)^n<(1+1/x)^x<(1+1/n)^n+1 =е каждая из функций. Следовательно существует Lim(1+1/x)^x=e при х->∞

2) Пусть теперь х-<-1 => Lim (1+1/x)^x=y=-x x->-∞,a y->+∞ Lim (1-1/y)^-y=Lim(y-1/y)^-y преобразуем = Lim(y/(y-1))^y= добавим и вычтем 1 получаем

Lim(1+y/(y-1)-1)^y= Lim(1+1/y-1)^y при х->+∞ =Lim(1+1/(y-1))^y-1*Lim(1+1/(y-1))=e*1=e

Существует Lim(1+1/x)^x=e сделаем замену 1/x=y y->0 Lim (1+y)^1/y=e

14. О символика

Пусть в некоторой проколотой окрестности Uб(Х0) имеет место равенство f(x)=альфа(х)*g(x)

1)Если Альфа(х) ограничена в окрестности Uб(Х0) то считают f(x)=(O(g(x))) в окрестности Uб(Х0)

2)Если существует Lim Альфа(х)=0 то считают f(x)=o*g(x) при x->X0

1- O большое 2- о – малое. f(x)=альфа(х)*g(x)

В этом случае f(x) называется функцией более высокого порядка чем g(x) при х->х0

3)Если существует Lim альфа(х)=1 то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при х->х0 f(x)~g(x) x->x0

4) Если f(x)=Og(x) a g(x)=Of(x) в некоторой окрестности Uб(х0) то f(x)=O(g(x)) в Uб(х0) функции одного порядка f(x) и g(x) в Uб(х0)

5)Функция f(x) называется бесконечно малой порядка p>0 относительно Х при Х->0 если существует const=C такая что f(x)=Cx^p+o(x^p) x->∞

Проще использовать предложения: 1) Пусть альфа(х) и бета(х) бесконечно малые при х->х0 Lim альфа(х)/бета(х)=0 при х->х0 то альфа(х)=о(бета(х))

2) Lim альфа(х)/бета(х)=А то альфа(х)=О(бета(х)) альфа(х) и бета(х) одно порядка при х->x0

3) Lim альфа(х)/бета(х)=1 то альфа(х) и бета(х) эквивалентны при х->x0

4)Lim альфа(х)/[beta(x)]^p=A то альфа(х)=Обета(х)^p альфа(х)-бесконечно большого порядка бета(х)^p при х->x0