Точка последовательности. Предел последовательности.

{Xn}n=1 Xn принадлежит R, n->Xn – функция натуральных чисел называется последовательностью. Если для любого E>0 существует N и выполняется

|Xn+a|<E,то число [a] называется пределом последовательности Xn и обозначается a=LimXn при n->0.Замечание - последовательности имеющие конечный предел называются – сходящимися последовательностями.

Определение: 1)Lim Xn =+҆∞ для любого А>0 сущ N такое что для всех n>N сущ Xn>A.

2)Lim Xn =- ∞ это означает что для любого А>0 сущ N такое что для всех n>N сущ Xn<A.

3)Lim Xn=∞ для А>0 сущ такое N что для всех n>N выполняется |Xn|>A.

1. Свойства сходящихся последовательностей.

Определение: 1) Последовательность {Xn}∞n=1 называется ограниченной если сущ N(n=1,2…) такое что Xn<N для любого N(1,2,3..)

2) Всякая сходящаяся последовательность всегда ограничена. 3) Сохранение знака у сходящейся последовательности.

Теорема. Пусть Lim Xn=a при N->∞ ,a!=0, тогда начиная с некоторого номера N все члены последовательности имеют тотже знак что и число А.

1.Арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей.

Теорема.1) Пусть Lim Xn =A , Lim Yn=B тогда Lim(Xn+Yn)=a+b т.е равен сумме пределов. 2)Lim(Xn*Yn)=(Lim Xn)* Lim(Yn)=a*b произведение пределов = произведению их решений. 3) Lim Yn=b!=0 то и LimXn/Yn=Lim Xn/Lim Yn = A/B частному пределов.

Замечание: LimC*Xn=C*Lim Xn для любой константы.

2. Предельный переход в неравенствах.

Теорема 1.

Пусть последовательность {Xn}∞ при n=1 и {Yn}∞ при n=1 таковы что 1)Lim Xn = a, Lim Yn = b. 2)Начиная с микрономера выполнимо неравенство N1 выполнимо соотношение n>N => Xn<Yn, тогда a=<b , т.е Lin Xn =< Lim Yn.

3. Теорема о трех последовательностях.

Пусть последовательности {Xn} {Yn} {Zn} таковы что существует предел Lim Xn= a; Lim Zn = a

2) Условие существование N0 такое что Xn=<Yn=<Zn тогда существует предел Lim Yn =a

4. Свойство монотонных последовательностей.

Определение : Последовательность называется 1) Монотонно возрастающей если для любого n>=1, Xn<Xn+1. 2)Монотонно неубывающей если для n>=1 Xn=<Xn+1

3) Монотонно невозрастающей, если для n>=1 Xn>=Xn+1 4) Монотонно убывающей если для n>=1 Xn>Xn+1 (+1 прибавляется к N).

Теорема о существовании предела, о монотонной и ограниченной последовательности.

Если {Xn} монотонно не убывает( не возрастает ) и ограничена сверху (снизу) то она имеет предел.

5. Число e.

Теорема. Существует Lim (1+1/n)^n значение этого предела обозначается буквой е = 2.71

Доказательство. Бином Ньютона (a+b)^n=A^n+Cn^1*a^(n-1)*b+Cn^2*a^(n-2)*b^2…+Cn^k*a^(n-k)*b^k+b^n.

Монотонно возрастает. Заметим осталось доказать ограниченность. Из самого построения последовательности.

Монотонно возрастает и Xn=<3 ограничена сверху значит по теореме о существовании предела у монотонной и ограниченной последовательности существует предел Lim (1+1/n)^n =e.

6.Предел функции.

Дано множество X принадлеж R и y принадлеж R.Существует закон соответств F x->y, для x принадлеж X сущ y принадлеж X.

Закон называется Функцией от X. Y=f(x) . Определяемое число А называется пределом функции y=f(x) в точке А если для любого Е>0 существует

Дельта такое что Дельта(E>0) для всех X, 0<|x-a|<Дельта. Отсюда следует |f’(x)-A| и обозначается A=Lim f(x) при X->a

Элементарными называются функции

1)у=x^R R- вещественное число (степенная функция) 2)y=sinx,cosx,tgx,arcsinx – тригонометрические функции 3) y=a^x, a>0, a!=0 показательная функция

4) y = loga(x) a>0 a!=0 логарифмические функции 5) y=C константа.

Из этих функций операциями(арифметическими) f(x)+-g(x); f(x)*g(x); f(x)/g(x); и операциями суперпозиции f[g(x)] получаются все элементарные функции.