1.3.Целые числа

1.3.1.Целые неотрицательные числа

Дополним множество N натуральных чисел одним элементом — числом 0. При этом 0 < п для всехпе N. Тогда объединение множества N натуральных чисел с {0} дает множество целых неотрицательных чисел, которое обозначают УУ₀, т. е.

Поставив 0 перед единицей в натуральном ряду получаем: {0,1, 2, 3, 4, 5,...}. Операции с нулем определяются равенствами: а + 0 = 0 + а = а, а-0 = а • 0 = 0 • а = 0, а-а- О, 0 + 0 = 0, 0-0 = 0, 0-а = 0, 0:а = 0(а*0).

Новое множество УУ₀ целых неотрицательных чисел содержит в себе множество ЛГ, т. е, Л/сЛ^; все операции и отношения множесгва Доопре­делены также и для элементов множества Л^; для него верны все свой­ства множества ^натуральных чисел, а именно^линейная упорядочен­ность, бесконечность, дискретность. ■

1.3.2.Целые числа

Объединение всех натуральных чисел, им противоположных и чис­ла нуль образует множество 2 целых чисел. Для целых чисел неограни­ченно выполняю гея три арифметические операции: сложение, вычита­ние, умножение. Сумма, разность, произведение любых двух целых чи­сел есть число целое. Деление во множестве целых чисел не всегда выполнимо. Следует заметать, что деление на 0 невозможно!

Для целых чисел верны все основные теоремы множества натураль­ных чисел. Рассмотрим дополнительно определения и теоремы, которые раскрывают правила знаков и правила раскрытая скобок в множестве 2.

Теорема 1.10. Для каждой пары целых чисел а и Ъ существует точно одно решение х уравнения а + х - Ъ. Число х называют разно­стью и обозначают х ~Ъ-а.

Сформулируем теорему о существовании куля и свойств, связанных с этим числом.

Теорема 1.11. Существует число 0, которое в сумме с любым чис­лом а не меняет его значения, то есть (V а) а + 0 = а.

Определение 1.6. Число а называется положительным, если а > 0, и отрицательным, если а < О,

Уравнение а + х = 0 имеет решение х = 0 - а, причем его записывают х ~ -а. Назовем число -а противоположным числу а; для него верно: а+(-~а) - 0. Из этого следует: если а > 0, то -а < 0 и если а < 0, то ~а > 0. Тогда если а > 0, то из положения Н.З. а + (~а) > (-а), следовательно, 0 > -а.

Число 0 для умножения неравенств играет особую роль; покажем это на примерах.

Пример 1.3. Пусть имеется истинное высказывание 4 < 6. Умно­жим обе его части на 2, 0 и -1:

4-2 < 6-2 4-0 = 6 0 4 (~1) > 6-(-1) 8 < 12 0=0 - 4 > -6.

Видим, что неравенство сохраняется только после умножения на положительное число, в остальных случаях знак неравенства меняется.

Следующее определение произведения имеет геометрическую интер­претацию. Если имеются два положительных целых числа а и Ь, то

а■ Ъ - а + а+...+а,

V „ '>

ь раз

то есть сумма Ъ отрезков, каждый из которых длины а, равна а-Ъ.

Правила вычислений во множестве 7,

• Верно утверждение: -(-а)- а.

Действительно, из 11.1. а. + (~а)~ 0 и (-а) + а - 0 следует (по теоре­ме 1. 2.), что а~ 0 - (-а) или а ~-(-а.).

• Верно утверждение: Ь+(-а) -Ъ-а.

Число х-Ъ~а является решением уравнения а + х = Ъ. Подставим в это уравнение вместо х = Ъ + (-а), тогда на основании коммутативно­сти и ассоциативности сложения будем иметь:

а + (Ъ + (-а)) = а + ((-а) +Ь) = (а + (-а)) + Ь = О +Ь = Ь.

• Из а < Ъ следует, чтсга >-Ь.

На основании свойствасложения II.3. прибавим к обеим частям не­равенства а<Ъ сумму (-а) + (-Ь), получим: а + ((-а) + (-Ъ)) < Ь + ((-а) + (-Ь)). На основании положений 11.1. и 11.2. и правила 2 получим: (а + (-а)) + (-Ь)<Ь + ((-/>) + (-а», 0+ (~Ь) < (Ь + + С-аЛ -6 <0-а,

-Ь < -а, у\ - Л > ' б .

• Для любого числа а верно равенство: й- 0 = 0- а = 0.

Пусть имеем верное равенство Ъ + 0 = Ь. Обе части этого равенства

умножим на а, получим (Ь+ 0) • а = Ь- а . Откуда следует 0 - а = 0.

• Если Ъ-а = Ои Ъ Ф &, то а = 0.

Из того, что Ъ . а - 0 и Ъ* 0 = 0 по теореме 1.5. следует, что а- ~

0 ^:> и 0 = Откуда а- 0.

• Выполняется равенство а - (Ь - с) = а - Ь - а-с.

Это равенство следует из положений IV.1., IV.3., правила 2, IV. 2.:

а- (Ь - с) + а-с = (Ь - с)-а + с-а = ((Ь - с) +с)- а = ((&--(-€)) +с)> « (Ъ + ((-с) + с))-а = (Ь + 0)а = Ъ-а = йг-