1.1. Натуральные числа

Числа 1,2,3,4, 5,6,..., записанные в определенном порядке, называ­ют натуральными числами и обозначают N.

Натуральные числа можно описать аксиоматически. Для этого не­обходимо знать некоторые неопределяемые (первоначальные) понятия. Указав начальный элемент и начальное отношение, можно получить все последующие за ним элементы. За начальное понятие возьмем по­нятие "число", начальное отношение — "непосредственно следовать за". Сформулируем систему аксиом для натуральных чисел, известную как аксиомы Пеано (1891):

• Существует натуральное число, которое непосредственно не сле­дует ни за каким другим натуральным числом. Назовем его единицей и обозначим символом 1.

• Для каждого натурального числа п существует точно одно непос­редственно следующее за ним число п'.

• Существует не более одного натурального числа. за которым не­посредственно следует число п.

• Если некоторое множество содержит число 1 и с каждым числом п содержит также непосредственно следующее за ним число п', то оно содержит все натуральные числа.

Первые три аксиомы понятны без пояснений. Число, следующее за числом 1, обозначим 1', это число 2; за числом 2 идет число 2' = 3 и так далее. Третью аксиому можно сформулировать в виде двух предложе­ний: не существует натурального числа, за которым следует 1; числа, непосредственно следующие за двумя различными числами, отличают­ся друг от друга. Четвертая аксиома носит название аксиомы индук­ции. Она лежит в основе метода математической индукции. С помо­щью этого метода обосновывается существование сложения, умноже­ния и упорядоченность натуральных чисел, доказываются свойства операций сложения и умножения натуральных чисел.

Доказательство методом математической индукции для предложе­ний вида Р(п) состоит из трех частей:

• проверяют истинность предложения Р{п) при п - I, т. е. Р(\);

• делают предположение об истинности предложения Р(п) при п~к\

доказывают, что Р(п) истинно при п~к+\ на основании предпо­ложения, т. е. доказываю! истинность импликации Р(к) Р(к+ 3).

Пр и мер 1.1. Доказать, что при любом натуральном п верно ра­венство,: 1+3+5+..>(2и - 1) = я². .

Доказательство (методом математической индукции):

• Покажем истинность равенства при п= 1. В самом деле, если п-1, у то будем иметь: 1 = 1²или 1 = 1 -И.

• Предположим, что при п == к истинно равенство: 1+3 + 5 +...+(2к - 1) ~ к².

• Докажем на основании предположения, что при п ~ к + 1 будет верно равенство: 1 + 3 + 5 +...+ (2к - 1) + (2 • (к + 1) -1) = (к + I)².

Преобразуем его: 1 + 3 + 5 +...+ (2к - 1) + (2к + 1) = (к+ I)². В самом деле, по предположению сумма первых к слагаемых равная². Тогда заменим сумму 1 + 3 + 5 +...+ (2к - 1) числом к², получим: к²+ 2к + 1 = (к + I)² или (к + 1 )²= (к + I)².

Получили верное равенство. Так как данное равенство верно при п ~ 1, и, из предположения об истинности равенства при п~ к, доказа­ли истинность его при п = к + 1. Значит, данное равенство истинно при любых натуральных л.

Определение 1.1. Сложением натуральных чисел а и Ь называ­ется алгебраическая операция, ставящая в соответствие каждой паре (а,Ь) ^ Л/² число а + Ъ е ./V, удовлегворяющееаксиомам:

• (У« е М)а+ 1 = а';

• (Уа,Ь е Л) а + Ь'= (а+Ь)'.

Определение 1.2. Умножением натуральных чисел а и Ъ назы­вается алгебраическая операция, ставящая в соответствие каж­дой паре (а,Ь) е № число а - Ь е УУ, удовлетворяющее аксиомам:

е ТУ)а • 1 -а 2)(\/а, Ь е Ы)а -Ь'=а -Ъ+а.

Операции вычитания и деления определяются как операции, обрат­ные сложению и умножению.

Определение 1.3. Разностью двух натуральных чисел Ь и а (Ь > а) называется число с, удовлетворяющее равенству а + с — Ь, т. е.

Ъ - а ~ с а + с -Ь.

Определение 1.4. Частным двух натуральных чисел Ьна(Ь >а) называется число с, удовлетворяющее равенству а •с т. е.

Ъ : а = с <->а-с = Ь. Во множестве натуральных чисел основные арифметические опера­ции (сложение и умножение) выполняются неограниченно. Сумма и произведение любых двух натуральных чисел всегда существует и яв­ляется числом натуральным. Обратные операции — вычитание и деле- \ / ниево множестве натуральных чисел выполняются не неограниченно. Так, ⁷

например, уравнения 5 + х = 2 или Зу - 7 во множестве натуральных чисел не имеют решений, так как разность 2 - 5 и частное 7 : 3 не явля­ются натуральными числами. То есть вычитание и деление натураль­ных чисел не всегда выполнимы во множестве N.

* Задания-упражнения

1.1. Доказать верность равенства при любом натуральном п:

ч 1 1 _1(\ 1 V

^а^1-2-3 ⁺ 2-3-4⁺'"⁺й(« + 1)(л + 2) 2\2 (л + 1)(я + 2)/

6)0 - 1²+ 1 • 2^г+2 ■ З² +... + („ - 1) • и² = -^1)(3и+2) •