Арифметические операции с конечными десятичными дробями

Сложение и вычитание.

Десятичные дроби пишут друг под другом так, чтобы в одном столбце стояли разряды с одинаковым значением. Затем складывают или вычитают как натуральные числа и в завершение ставят запятую между разрядами единиц и десятых долей.

Умножение

Сначала десятичные дроби умножаются как натуральные числа. В результате запятой отделяется столько десятич-ных разрядов, сколько имеют после запятой оба множителя.

Деление

Деление

. Если делитель — натуральное число, то поступают как при деле­нии натуральных чисел, однако после деления единиц делимого ставят запя­тую. Если делитель — конечная десятичная дробь, то сначала умножают делимое и делитель на 10, 100, 1000, ..., смотря по тому, имеет ли делитель 1, 2, 3, ... десятичных знаков. Таким образом делитель делают натуральным числом.

Двойные дроби

В области деление натуральных чисел можно понимать как деление дробных чисел. Обратно, каждое дробное число можно записать как частное натуральных чисел.

Преобразование форм представления дробных чисел

Дроби, знаменатели которых суть степени десяти, и простые дроби, которые можно преобразовать сокра-щением или удлинением в такие дроби, записываются как конечные десятичные дроби. Верно и обратное.

3 /5=6/10=0,6 0,375 = 375 /1000= 11 / 16 |

Каждая простая дробь, которую нельзя преобразовать в дробь с десятичным знаменателем, преобразуется в периодическую десятичную дробь. Для этого применяется способ деления «столбиком»,

_и 5 :11 = 0,4545 ... = 0,(45)

60

50

60

Справедливость этого способа следует из того, что последовательность частичных результатов деления 0; 0,4; 0,45; 0,454; 0,4545; ... монотонно возрастает и ограничена сверху (например, числом 0,5) и из вычисления ее предела. Обратно, каждую периодическую десятичную дробь можно превратить в простую дробь. Периодическую десятичную дробь 0,(3) можно записать как сумму геометрической

прогрессии а + аq¹ + аq²+aq³+... 0,(3) = 0,3 + 0,03 + 0,003 + где а = 0,3 и q = 0,1. Для n-й частичной суммы S_n получается S_n= a (1-q_n)/(1-q)=0,3 *(1- 0.1ⁿ)/( 1- 0,1)/

Так как lim 1/10ⁿ=0, то 0,3 (1/1-0,1)= 0,3/0,9=1/3

Если при вычислении возникают и простые и десятичные дроби, то необхо­димо выбрать какую-либо одну форму представления дробных чисел. В случае появления при выполнении вычислений периодических десятичных дробей, следует ограничить количество знаков числом, необходимым для заданной точности вычислений.

Непериодические бесконечные десятичные дроби нельзя точно превратить в простые дроби.

Рациональные числа

О₂₃: Дробные числа вместе с противоположными им числами называются рациональными числами. Множес-тво рациональных чисел обозначается буквой Q. Верно, что Q ₊ включено в Q.

Положительные и отрицательные числа '

Числа, противоположные дробным числам (кроме нуля), называются отрицательными (рациональными) числами. Они лежат на числовой прямой левее нуля и имеют знак «-»(минус).

Дробные числа (кроме нуля), противоположные отрицательным числам, называются положительными (рациональными) числами.

Положительные (рациональные) числа вместе с (рациональным) числом нуль называются также неотрицательными (рациональными) числами.

В выражениях со знаками операций рациональные числа со знаками 'заключаются в скобки : а) -3 + (-0,7);

б)+3-(1/3); . Знак «+» (плюс) может опускаться.

Целые числа

О₂₃: Натуральные числа вместе с противоположными им числам называются целыми и обозначается через Z.

Наглядное изображение целых чисел на числовой прямой:

—| 1 1 1 1 1 1—►

-3 -2-1 0 1 2 3

Порядок рациональных чисел ,,п

Порядок неотрицательных рациональных чисел совпадает с порядком I (<" С. 46).

Порядок отрицательных рациональных чисел определяется следующим разом:

Определение: Отрицательное рациональное число а считается М'$| чем отрицательное рациональное число Ь тогда и только тогдГ |а( > \Ь\. Каждое отрицательное рациональное число меньше, Ч дое неотрицательное рациональное число.

И Верно, что -7 < -2,1, так как |~7| > |-2,11. ^

И Верно, что -13 < 12. Я Верно, что -0,1 < 0.

_м I 1

Из двух различных рациональных чисел меньшее лежит на числовой ПрЩ левее большего. 'И »

Сложение рациональных чисел

Слагаемые имеют	одинаковые знаки	различные знаки и
		равные модули	различные модули
Знак суммы равен •"" О'' V ;	знаку слагаемых	—	Знаку слагаемого с ббльшим модулем
Модуль суммы равен	сумме модулей	0	разности: ббльший модуль минус мень­ший модуль
Примеры	4 + 9= 13 + (-0,2) = -0,7	-3 + 3 = 0 7,5 + (-7,5) = 0	14 + (-9) = 5 -5,8 + 1,3 = -4,5

Умножение рациональных чисел

Сомножители имеют	одинаковые знаки	различные знаки
Знак произведения	+	-
Модуль произведения	равен произведению мо­дулей	равен произведению моду­лей
Примеры	0,4 • 9 = 3,6 ' (-0,2) = 0,1	25 • (-0,2) = -5 Л .4.-5 8 2

Вычитание рациональных чисел

В области О вычитание сводится к сложению. Так как в О сложение выпол­нимо без ограничений, то это также верно и для вычитания.

Определение: Вычитание рационального числа — это сложение этого числа с противоположным ему. а - Ь = а + (-Ь); (а, Ь е О)

■ 3 - (-7) = 3 + 7 = 10

^ Взаимно противоположные числа, с. 40.

Деление рациональных чисел

Делимое и делитель имеют	одинаковые знаки	различные знаки
Знак частного	+	-
Модуль частного	равен частному модулей	равен частному модулей
Примеры	1,4 : 0,7 = 2 -- ■ Р-) - " 8 Ч 2) 4 8	25 3 25 2 : 2 3 0,5:(-1)=-3 14 3 2 -7 3

Представление рациональных чисел

Каждое рациональное число г можно представить в форме '

г-— , т е 1, п е N,/7*0. п

Возможность такой формы представления следует из того факта, что множе­ство рациональных чисел состоит из множества дробных чисел и множвОТИ противоположных им чисел.

Для неотрицательных рациональных чисел (дробных чисел) эта форма Пр§Д« ставления получается из определения дробных чисел. Для отрицательных рациональных чисел эта форма представления получмтО!¹ из определения деления рациональных чисел, например:

(-9:7 = -(9:7) = -|)

Из возможности превращения дробных чисел в конечные или бесконечны! периодические десятичные дроби получается возможность представлен ИР рациональных чисел равным образом в виде конечных или бесконечных ГЯ- риодических десятичных дробей, например:

о

=-0,27.

^ Преобразование форм представления дробных чисел, с. 51.

4*0"

Изображение рациональных чисел на числовой прямой

Каждое рациональное число можно однозначно связать с точкой чио/ГФЮЙ оси

Упорядочению неотрицательных рациональных чисел соответствует упорядочение дробных чисел (/* С. 47). Упорядочение отрицательных рациональных чисел получа­ют или отражением дробных чисел относительно нуля, или с помощью теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми

Наглядно для

Параллельные прямые: х а - 5 5

7 ~ 5 ~ з-;итакх = -з

Рис. 22

Действительные числа Действительные числа

Определение: Множество действительных чисел равно множеству всех конечных или бесконечных отрицательных или неотрицательных десятич­ных дробей за исключением чисел, имеющих девять в периоде.

Замечание: Так как 0,(9) = 1, то десятичные дроби, имеющие девять в пери­оде, исключаются, чтобы достичь однозначности в представлении действи­тельных чисел десятичными дробями.

Множество действительных чисел обозначается символом К. Верно, что N с <С|₊ с О с К.

Иррациональные числа

Множество иррациональных чисел равно множеству бесконечных непери­одических десятичных дробей.

■ а) к = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197...;

б) е = 2,718 281 828 459 045...;

в) 1,2345678910111213...;

г) 0,5050050005000050... . Десятичные дроби, с. 8.

Порядок действительных чисел

Исходя из представления положительных действительных чисел десятич­ными дробями а = а₀, а^а₃... или Ь = Ь₀, Ь-^Ьз--. определяется их поря­док.

Определение: Положительное действительное число а считается мены положительного действительного числа Ь (обозначается: а < Ь), если для наименьшего натурального числа к, для которого а_к * Ь_к.

а - 4,72438651234... Ь = 4,72439431234...

Имеем а < Ь, так как а₅ = 8 < 9 = Ь₅ и а_к = Ь_к для к = 0,1 2, 3, 4.

Порядок произвольных действительных чисел устанавливается следующим об"

разом:

Из двух отрицательных действительных чисел меньше то, которое И1Й больший модуль.

Каждое отрицательное действительное число меньше нуля и меньше К дого положительного действительного числа. и н

Каждое положительное действительное число больше нуля.

Вычислительные операции с иррациональными числами

Вычисления с иррациональными числами сводятся к вычислениям с рацИ' опальными приближенными значениями, причем может быть достигнута лю­бая требуемая точность.

И Вычисление Л + 7б с точностью до пяти знаков: (!) Приближенные значения 7з и 7б:

1	<	Л	< 2	2	<	л	<	3
1,7	<	Л	< 1,8	2,4	<	л	<	2,5
1,73	<	Л	< 1,74	2,44	<	л	<	2,45
1,732	<	л	< 1,733	2,449	<	л	<	2,450
1,7320	<	л	< 1,7321	2,4494	<	л	<	2,4495
1,73205	<	л	< 1,73206	2,44948	<	л	<	2,44949
1,732050	<	л	< 1,732051	2,449489	<	л	<	2,449490

и т. д.

2) Л + Л	— это то число х, для		которого имеет		место:
1 +	2	= 3	<х<	2	+ 3	= 5
1,7 +	2,4	= 4,1	< х <	1,8	+ 2,5	~ 4,3
1,73 +	2,44	= 4,17	< х <	1,74	+ 2,45	= 4,19
1,732 +	2,449	= 4,181	<х <	1,733	+ 2,450	= 4,183
1,7320 +	2,4494	= 4,1814	< х <	1,7321	+ 2,4495	= 4,1816
1,73205 +	2,44948	= 4,18153	< х <	1,73206	+ 2,44949	= 4,18156 ,
1,732050 +	2,449489	= 4,181539	< х<	1,732051	+ 2,449490	= 4,181541

МПЛаконые числа

^Определение: Область С комплексных чисел состоит из множества всех •упорядоченных пар (а; Ь) действительных чисел а и Ь, в котором введены ДВА вычислительные операции Ф и О.

В С нельзя определить отношения порядка.

В представлении г ~ (а; Ь) комплексного числа т. компонента а называется действительной частью г или Не(г), а компонента Ь — мнимой частью г или 1т(2).

/ Упорядоченная пара (а, Ь), с. 24.

/ Сложение комплексных чисел, с. 58; Умножение комплексных чисел, с. 59 и далее.

доловая плоскость Гаусса

Комплексные числа можно наглядно представить в прямоугольной системе координат на числовой плоскости Гаусса (комплексной плоскости) Рис. 23).

Мнимая ось

- (а,; Ь,) (а, > 0; Ь, ->0)

... и

= 1т(г,)- а₂ = Ке(.г₂)

а, = Не^) Действительная ось

{а₂; Ь_?) | ь₂ = 1т(г₂)

< 0; ь₂ < 0)

Рис. 23

Комплексные числа вида (а; 0) называются действительными комплекс­ными числами, а числа вида (0; Ь) — чисто мнимыми числами.

/ Системы координат, с. 11.

ЭЖание комплексных чисел

Оложение комплексных чисел (знак ©) определяется покомпонентно: (|; 0) Ф (с; ф ■= (а + с; Ь + б).