ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ, ИХ СВОЙСТВА

1. Н атуральные числа n ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Натуральное число N указывает количество элементов конечного множества. 0-не является натуральным числом.

2. Целые числа z Множество целых чисел есть объединение множества натуральных чисел и множества им противоположных им чисел.

! ! .! ! ! !

-2 -1 0 +1 +2 +3

3 Дробные числа Q₊ ! ! ! ! ! !

01/2 1 3/2 2 3 4 5

Каждое множество всех дробей, которые получаются друг из друга делением или умножением (числителя или знаменателя) на общий множитель есть дробное число.

4 .Рациональные числа Q !-2 !1--1/2 0 + 1/2 + 1 +2

Множество рациональных чисел – это объединение множества дробных чисел и чисел, им противоположных.

Действительные числа R

! ! ! ! ! !

-2 -V3 -1-1/2 0 +1/2+ 1 +V3 +2

Множество действительных чисел—это множество всех конечных или бесконечных(периодидических или неперио-дических ) десятичных дробей.

Можно представить числа на схеме

Действительные числа R

Р ациональные ч Q ₊ Q- Иррациональн ч. I

Целые числа Z Дробные числа Q₊

Отрицательные Z_ Натуральные N.

целые числа числа и число 0.

Числовая прямая — это прямая с заданной нулевой точкой и единичным отрезком, так что точки прямой могут быть соотнесены однозначно и обратимо с действительными числами.

Из части числовой прямой, содержащей точку нуль и точку, соответствующую единице. Эта часть называется числовым лучом. Соответствие чисел области и ее подобласти точкам числовой прямой не является однозначно обратимым. Хотя каждому рациональному числу можно сопоставить точку числовой прямой, но не каждой точке отвечает рациональное число.

Отношения порядка

Каждая числовая область упорядочивается с помощью отношений меньше (<) В соответству-ющих числовых областях: а < в тогда и только тогда, когда а < в и а не= в; а не >в.

а >в тогда и только тогда, когда а не< в и а не=в

При изображении действительных чисел на число-вой прямой из двух различных чисел меньшее всегда лежит левее большего.

Свойства отношения «меньше»:

Для произвольных чисел а, в, с соответствующей области справедливо:

• Если а < в и в < с, то а < с.

• Если а < в, то не верно, что в < а.

• Или а < в, или в < а, или а = в.

• Если а < в, то а + с < в + с.

• Если а < в и с > 0, то ас < вс.

• Не верно а < а.

Последующее число:

О₁. : Пусть а, в — элементы упорядоченной числовой области. Число в называется непосредственно последующим числом за а внутри числовой области тогда и только тогда, когда а < в и нет в области числа с такого, что а < с < в. Для каждого числа существует однозначно определенное непосредственно последующее число только в областях N и Z . Примеры:

а) 4 в области N непосредственно следует за 3. 4 в области N не является непосредственно следующим за 2, так как имеется число 3 (3 из N), которое лежит между 2 и 4.

б) -3 в области 2 непосредственно следует за -4.

Предшествующее число

О_2.: Пусть а, в — элементы упорядоченной числовой области в называется непосредственно предшествующему числу а внутри внутри области тогда и только тогда, когда в < а и нет числа с из этой области, для которого в< с < а.

Для каждого числа существует однозначно определенное предшествующее число только в Z

. В N каждое число, кроме нуля, имеет однозначно определённое непосредственно предшествующее число. ■ 3 в области N — непосредственно предшествующее числу 4. 2 в области N не является непосредственно предшествующим числу 4, так как имеется число 3 , которое лежит между 2 и 4.

Плотность числовой области

О₃'. Числовая область называется всюду плотной относительно определенного в ней отношения порядка тогда и только тогда, когда для двух произ-вольных чисел области а, в (а < в) всегда имеется число с из области (а < в) для которого а < с < в.

Числа области Q расположены всюду плотно, так как для двух произвольных рациональных чисел

а < в имеем (а+в)/2 из множества Q а < (а+в)/2 < в

Ограничения множества действительных чисел

О₄: Число S — нижняя грань множества R действительных чисел тогда и только тогда, когда для каждого из R верно, что S < х.

О₅: Число S — верхняя грань множества R действительных чисел тогда и только тогда, когда для каждого х из R верно, что х < S.

Если множество действительных чисел имеет нижнюю (верхнюю) грань, то оно называется ограниченным снизу (сверху). Если множество ограничено как сверху, так и снизу, то говорят, что множество ограничено. Примеры:

■ Множество натуральных чисел ограничено снизу. Множество отрицательных чисел не ограничено

.

Точные границы множества действительных чисел

О₆: Число G — точная верхняя грань множества R действительных чисел тогда и только тогда, когда R есть наименьшая из всех верхних граней R.

О₇: Число G — точная нижняя грань множества R действительных чисел тогда и только тогда, когда G есть наибольшая из всех нижних граней R. Примеры:

Л -Есть нижняя грань Q₊ но не точная нижняя грань, так как существует большая нижняя грань Q₊, например 0,5. Наибольшая нижняя грань Q₊ есть 0. Итак, Q₊ имеет точную нижнюю грань, равную нулю.

Свойства числовой области относительно порядка

	N	Z	Q	R	C
Есть ли в этой области не­посредственный предшественник каждого числа области?	Да (кроме нуля)	да	нет (всюду пло- тно)	нет (всюду плотно)	Нет (всюду плотно)
Есть ли в этой области не­посред-ственно после-дующее число для каждого числа области?	Да	да	нет (всю-ду плот-но)	нет (всюду плотно)	Нет (всюду плотно)
Имеет ли каждое непустое ограни-ченное множество точную верхнюю (нижнюю) грань в соответствующей области?	Да	да	нет	нет	Да

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ЧИСЛАМИ

Сложение

Слагаемые		Сложение во всех числовых областях не имеет ограничений и однозначно выполнимо
а + в	= X
cумма	сумма

Для произвольных чисел а, в, с соответствующей области справк-дливы свойства сложения: а + в = в + а (коммутативность);

а + (в + с) = (а + в) + с (ассоциативность);

а+0= 0+а = а(0) — нейтральный элемент относительно сложения Коммутативность и ассоциативность сложения приводят к тому, что порядок | слагаемых не оказывает никакого влияния на сумму.

Умножение

Умножение во всех числовых областях не имеет ограничений и однозначно выполнимо

множители

а • в = х

Произведение произведение

Для произвольных чисел а, в, с соответствующей области имеют место:

а • в = в • а (коммутативность);

а • 0 = 0• а

а• (в • с) = (а• в) • с (ассоциативность);

а• (в+ с) = а• в+ а•с (дистрибутивность);

а•1=1•а=а (1— нейтральный элемент относительно умножения). Коммутативность и ассоциативность умножения приводят к тому, что порядок сомножителей не оказывает никакого воздействия на произведение. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из сомножителей равен нулю.

Дистрибутивность верна также для числа слагаемых больше двух

ВЫЧИТАНИЕ

Вычитание — это действие, обратное сложению, т. е. при данных числах а, в надо найти число х такое, что в + х = а.

УменьшаемоеВычитаемое		Вычитание не является вы-полнимым во всех числовых областях
а – в = х
Разность Разность		В случае выполнимости оно однозначно

Для каждого числа а имеем а-а = 0, а-0 = а.

ДЕЛЕНИЕ

Деление — это действие, обратное умножению , т. е. для заданных чисел а и в необходимо найти число х такое, что в•х = а.

Делимое Делитель		Деление не явл. выполним во всех числовых областях.
а : в	= X
'		В случае вы-полнимости оно однозначно.
частное	частное

Для каждого числа а имеет место: а : 1 = а. Для каждого числа а верно, что а:а = 1 и 0 : а = 0.

Деление на нуль невыполнимо принципиально во всех числовых областях, поскольку в таких случаях частное не существует или определено неоднозначно и, следовательно, вычислительные операции не имеют однозначного результата.

а) 0•х = 15 б) 0•х= 0

х = 15 : 0 х = 0 : 0

Такого числа нет. Для всех х верно 0 • х = 0.

Свойства числовых областей относительно вычислит. операций:

Операция	N	Z	Q+	R
Сложение а + в= х	всегда выполнимо
Вычита-ние а - в = х	не всегда выполни­мо, например 3-5	всегда вы­полнимо	не всегда выполннимо, напр: 3,6 - 7,4	всегда выполнимо
Умножение а•в= х Деление а :в = X	всегда выполнимо не всегда выполнимо

Порядок действий в вычислительных операциях

Первая ступень	Сложение и вычитание
Вторая ступень	Умножение и деление
Третья ступень	Возведение в степень (извлечение корня)

Если при вычислении значения некоторого выражения должны выполняться вычислительные операции различных ступеней, то третья ступень имеет преимущество перед второй и первой ступе-нями, а вторая ступень — перед первой, это означает по отношению к знакам операций:

• Знаки <+» и «-» разделяют сильнее, чем знаки «•» и «:».

• Знаки * •» и «:» в выражении разделяют сильнее, чем запись возведения в степени

Если в некотором выражении возникают различные вычислительные операции равных ступеней, то эти операции выполняются шагами слева направо если не предписывается другой порядок следования скобками

.МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Модуль действительного числа — это само число, если оно неотрицательно. В противном случае его модуль — это противоположное ему число.

|7|-7; |-3,5|=3,5; |3| = |-3|=3; |0|=0.

Для каждого числа а имеем |а| > 0.

Взаимно противоположные числа имеют равные модули.

Модуль действительного числа обозначает расстояние от него до числа на числовой прямой.

Натуральные числа

.

O_8..

1) Если n — натуральное число, то непосредственно последующее число n + 1 также натуральное.