1.4 Контактные схемы

В качестве одной из интерпретаций булевых функций рассмотрим электрическую схему, состоящую из источника напряжения (батареи), лампочки и одного или двух ключей х₁ и x₂. Ключи управляются кнопками с двумя состояния­ми: кнопка нажата (1) и кнопка отпущена (0). Если в исходном со­стоянии ключ разомкнут, то при нажатии кнопки он замыкается. Ключ может быть сконструирован и так, что в исходном состоянии он замкнут, тогда нажатие кнопки означает его размыкание, т. е. приводит к противоположному результату. Поэтому нормально за­мкнутые ключи обозначим через и .

При соответствующих состояниях кнопок лампочка принимает одно из двух состояний: горит (1) и не горит (0). Состояния кнопок отождествляются со значениями булевых переменных х₁ и x₂, а со­стояние лампочки - со значением функций этих переменных.

Операции отрицания соответствует схема с одним нормально замкнутым ключом (рис. 1а). Если кнопка нажата (х = 1), ключ разомкнут и лампочка не горит, т. е. f(x) = 0; при отпущенной кнопке (х = 0) ключ замкнут и лампочка горит, т. е. f(x) = 1. Операциям дизъюнкции и конъюнкции соответствуют схемы с двумя нормально разомкнутыми ключами (рис. 1б, в). Легко убедиться, что в схеме рис. 1б лампочка горит при нажатии хотя бы одной из кнопок, а в схеме рис. 1в - только при нажатии обеих кнопок одновременно.

а)

б)

в)

Рисунок 1

Любую сложную булеву функцию можно представить некоторой переключательной схемой. На рис. 2а показана схема, реализую­щая функцию . Та же функция представляется равносильной формулой , которой соответствует другая более простая схема (рис. 2б). Следует иметь в виду, что ключи, обозначенные одинаковыми буквами (х или х), связаны между собой и управляются общей кнопкой.

а)

б)

Рисунок 2

В реальных устройствах используются ключи различной кон­струкции и физической природы (механические, электромагнитные, электронные, гидравлические, пневматические и т. д.). Однако при реализации логических функций многие технические особенности не имеют значения. Существенными свойствами контактных схем являются исходные положения ключей (нормально разомкнуты или нормально замкнуты) и способ их соединения между собой и внешними устройствами. Эта информация полностью отображается графом, ребра которого соответствуют ключам, а вершины - точкам их соединения. Ребра нормально разомкнутых ключей обозначаются соответствующей переменной (х), а нормально замкнутых - отрицанием переменной ( ). Например, контактная схема (рис. 2б) изображается графом, как показано на рис. 3а. При изображении контактных схем графами принимаются неко­торые специфические условия и упрощения. Обычно переменные обозначаются в разрывах линий, изображающих ребра. При этом ребрами считаются только такие линии, которые обозначены какой-либо переменной или ее отрицанием. Другие линии, не являющиеся ребрами графа, могут изображать входы и выходы схемы, связи с другими схемами и т. п. Кроме того, вершины второй степени могут не изображаться, так как им инцидентны пары последовательно соединенных ребер, из которых каждое обозначено соответствующей переменной. На рис. 3б показана контактная схема в обычно принятом виде.

Рисунок 3

Задача анализа контактной схемы состоит в построении соответствующей ей булевой функции. Для параллельно-последовательных схем эта задача решается на основе того, что параллельное соединение контактов соответствует дизъюнк­ции, а последовательное соединение — конъюнкции переменных, которыми эти контакты обозначены в схеме. Например, для двух­полюсной контактной схемы (рис. 4)

Если схема (или ее часть) имеет произвольную структуру, то ее анализ проводится путем выделения всех путей между входным и выходным полюсами схемы. Каждый такой путь представляется конъюнкцией переменных входящих в нее контактов, а вся схема — дизъюнкцией этих конъюнкций. Например, для мостиковой схемы (рис. 5)

Интересно отме­тить, что эта функция реализует операцию сложения по модулю 2 трех двоичных переменных, т. е. у = х₁ + х₂ + х₃, в чем можно убедиться по таблицам соответствующих функций.

Рисунок 4

Рисунок 5

При построении контактной схемы по заданной булевой функции (задача синтеза) исходная функция может быть задана как логической формулой, так и таблицей. В обоих случаях прежде всего необходимо выразить функции через операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Каждая опера­ция конъюнкции соответствует последовательному соединению контактов, а операция дизъюнкции — параллельному соединению. В результате получаем последовательно-параллельную контактную схему.

Пусть, например, функция задана таблицей соответствия, приве­денной ниже.

На основе ее в совершенной дизъюнктивной нор­мальной форме строится схема в виде параллельного соединения ветвей, каждая из которых представляет собой последовательное соединение контактов, соответствующих переменным конституент единицы (рис. 6а).

Преобразуя исходное выражение, можно получить другие кон­тактные схемы, соответствующие данной функции. Так, для рас­сматриваемого примера:

Этому выражению соответствует схема рис. 6б, которая со­держит на два контакта меньше. Еще проще мостиковая схема (рис. 5), которая реализует ту же функцию.

а)

б)

Рисунок 6

Центральной проблемой синтеза является построение наиболее простой или в каком-то смысле оптимальной схемы. Часто эта проблема сводится к минимизации булевых функций, т. е. к такому их представлению, в котором соответствующие формулы содержат минимальное количество вхождений переменных.