1.2 Нормальные формы

Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма - это дизъюнкция (конъюнкция) конечного числа различных членов, каждый из которых представляет собой конъюнкцию (дизъюнкцию) отдельных переменных или их отри­цаний, входящих в данный член не более одного раза.

Функция приводится к нормальной форме следующим путем:

1) с помощью законов де Моргана формула преобразуется к такому виду, чтобы знаки отрицания относились только к отдельным переменным;

2) на основе первого (второго) дистрибутивного закона формула сводится к дизъюнкции конъюнкций (конъюнкции дизъюнкций);

3) полученное выражение упрощается и соответствии с тождествами и ( и ).

Пример:

- дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ).

- конъюнктивная нормальная форма (КНФ).

Члены дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формы, представляющие собой элементарные конъюнкции (дизъюнкции) k букв, называют минитермами (макстермами) k-го ранга. Так, в приведенных выше формах ху - минитерм второго ранга, хуz - минитерм третьего ранга, а - макстерм второго ранга.

Если исходная формула содержит другие операции, то они предварительно выражаются через дизъюнкцию, конъюнкцию и отри­цание, например:

Пример:

Если в каждом члене нор­мальной формы представлены все переменные (либо в прямом, либо в инверсном виде), то она называется совершенной нормальной формой.

Всякая нормальная форма может быть приведена к совершенному виду следующим образом. Если какой-либо член  дизъюнктивной (конъюнктивной) нормаль­ной формы не содержит переменной х, то она вводится тождест­венным преобразованием  = ( ) = х   (соответ­ственно  =   =(  х)(   )). В силу тождеств    =  и  =  одинаковые члены, если они появляются, заменяются одним таким членом.

Можно показать, что любая булева функция, не являющаяся тождественным нулем (единицей), имеет одну и только одну совер­шенную дизъюнктивную (конъюнктивную) нормальную форму.

Продолжая второй пример, приведем данную функцию к совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ):

Приведение к совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ) иллюстрируется следующим при­мером:

Для совокупности переменных выражение называют конституентой единицы, а выражение - конституентой нуля ( означает либо , либо ). Данная конституента единицы (нуля) обращается в единицу (нуль) только при одном соответствую­щем ей наборе значений переменных, который получается, если все переменные принять равными единице (нулю), а их отрицания - нулю (единице). Например, конституенте единицы соот­ветствует набор (1011), а конституенте нуля - набор (1001).

Так как совершенная дизъюнктивная (конъюнктивная) нор­мальная форма является дизъюнкцией (конъюнкцией) конституент единицы (нуля), то можно утверждать, что представляемая ею булева функция f( ) обращается в единицу (нуль) только при наборах значений переменных , соответствующих этим конституентам. На остальных наборах эта функция обращается в нуль (единицу).

Справедливо и обратное утверждение, на котором основан способ представления в виде формулы любой булевой функции, заданной таблицей. Для этого необходимо записать дизъюнкции (конъюнкции) конституент единицы (нуля), соответствующих наборам зна­чений переменных, на которых функция принимает значение, рав­ное единице (нулю).

Пример. Функции, заданной таблицей

соответствуют совершенные нормальные формы:

Полученные выражения можно преобразовать к другому виду на основании свойств булевой алгебры.

1.3 Алгебра Жегалкина

Другая алгебра булевых функций строится на основе операций сложения по модулю 2 и конъюнкции. Она называется алгеброй Жегалкина по имени предло­жившего ее советского ученого. Непосредственной проверкой по таблицам соответствия устанавливаются следующие основные свой­ства этой алгебры:

- коммутативность х + у = у + х; ху = ух;

- ассоциативность х + (у + z) = (х + у) + z; х(уz) = (ху)z;

- дистрибутивность умножения относительно сложения х(у + z ) = ху + хz;

- свойства констант. ; ;

Все эти свойства подобны обычной алгебре, но в отличие от булевой алгебры закон дистрибутивности сложения относительно умножения не имеет силы. Справедливы также следующие тождества:

- закон приведения подобных членов при сложении х + х = 0;

- закон идемпотентности для умножения хх = х.

Таким образом, в формулах алгебры Жегалкина, как и в буле­вой алгебре, не могут появляться коэффициенты при переменных и показатели степени. Существую следую­щие соотношения:

Первые два тождества позволяют перейти от любой формулы булевой алгебры к соответствующей ей формуле алгебры Жегал­кина, а с помощью третьего тождества осуществляется обратный переход.

Пример.

Через операции алгебры Жегалкина можно выразить все другие булевы функции:

.

Любая булева функция приводится к каноническому многочлену, члены которого не содержит числовых коэффициентов и линейны относительно любой из переменных (переменные входят только в первой степени). Действительно, если привести данную функцию к совершенной нормальной форме и заменить все дизъюнкции через суммы по модулю 2, а отрицание переменных представить в соответствии с тождеством , то после раскрытия скобок получим некоторое алгебраическое выражение. Оно приводится к канониче­скому многочлену на основе соотношений х + х = 0 и хх = х. Такое представление всегда возможно и единственно (с точностью до по­рядка расположения членов).

Пример.

(1 + х + у) (1 + ху) + (х + ху) у = 1 + х + у + ху + хху + уху + ху + хуу =

= 1 + х + у + ху + ху + ху + ху + + ху = 1 + х + у + ху.

Так как эта формула является тождественной единицей, то она невыполнима.

Преимущество алгебры Жегалкина состоит в арифметизации логики, что позволяет выполнять преобразования булевых функций, используя опыт преобразования обычных алгебраических выраже­ний. Ее недостаток по сравнению с булевой алгеброй - сложность формул, что особенно сказывается при значительном числе перемен­ных, например:

х  у  z = х + у + z + ху + хz + уz + хуz.