12. Класс вычетов по модулю m. Понятие вычета. Привести примеры классов вычетов и вычетов по модулю m.

Если данное число m записано в десятичной системе счисления, то разделить его с остатком на 10 очень легко – остатком будет последняя цифра, а неполным частным – число, получающееся зачеркиванием последней цифры: 123456=10x12345+6

Вам, возможно, знакомо такое простое правило – если мы хотим найти последнюю цифру некоторого числового выражения, надо выполнить все операции с последними цифрами этих чисел, т. е. заменить все числа их остатками при делении на 10. Это правило обобщается для нахождения остатка при делении на любое число n. Для этого введем понятие сравнения.

Число a называется сравнимым с числом b по модулю m, если разность a – b делится на m. Для сравнений по модулю m употребляется следующая запись: a≡b(mod m).

Можно дать другое определение сравнимости: a≡b(mod m), если a и b имеют одинаковые остатки при делении на m. Вычетом числа a по модулю m называется остаток от деления a на m.

Зафиксируем модуль m > 1. Все числа, сравнимые между собой по модулю m, можно объединить вместе. Такое множество называется классом вычетов по модулю m. Все числа в одном классе вычетов имеют один и тот же остаток при делении на m, а числа в разных классах имеют разные остатки. Выпишем для примера классы вычетов по модулю 5.

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, …

1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, …

2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, …

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, …

4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, …

Классы вычетов по модулю m представляют собой арифметические прогрессии с разностью m. Классы удобно дополнить отрицательными целыми числами. Например, в класс чисел по модулю 5, сравнимых с числом 4, попадут такие числа: …, –11, –6, –1, 4, 9, 14, …

11.Понятие сравнения. Основные свойства сравнений. Решение сравнений.

Будем рассматривать целые числа в связи с остатком от их деления на натуральное m, называемое модулем. Если 2 целых числа a и b имеют одинаковые остатки от деления на m, то они называются сравнительными по модулю m. Сравнимость чисел: a≡b(mod m).

Свойства сравнений:

1. a≡b(mod m) ↔ m/(a-b);

2. a≡b(mod m), b≡c(mod m)  a≡c(mod m);

3. Сравнения можно складывать почленно: a₁≡b₁(mod m), a₂≡b₂(mod m), m/(a₁-b₁), m/(a₂-b₂) . В силу свойства 1: m/(a₁-b₁+a₂-b₂), m/((a₁+a₂)-(b₂+b₁)).

4. Сравнения можно почленно перемножать: a₁≡mq₁+r₁, b₁≡mq₁+r₁, a₂≡mq₃+r₂, b₂≡mq₄+r₂. Тогда можно записать: a₁a₂=m(mq₂+q₁r₁+q₂r₁)+r₁r₂; a₁a₂=r₁r₂(mod m); b₁b₂=r₁r₂(mod m).

5. К обеим частям сравнения можно прибавить одно и то же число.

6. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же число

7. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем. Пусть следующее имеет место: a₁d≡b₁d(mod m)  m/d(a₁-b₁) => m/(a₁-b₁), (m,d)=1.

8. Обе части уравнения и модуль можно сокращать на общий делитель.

9. a≡b(mod m₁), a≡b(mod m₂) => a≡b(mod (m₁m₂)).

Сравнения I степени: Рассмотрим сравнение ax=b(mod m) при условии (a,m)=1 (1). Под решением любого сравнения понимается класс вычетов по модулю m, один элемент которого (а значит и все) удовлетворяет сравнению. В рассматриваемом случае найдутся целые u и v такие, что au+bv=1, следовательно, имеет место следующее выражение: au=1(mod m). Будем называть u обратным а по модулю m. Умножим обе части сравнения (1) на u, тогда x=bu(mod m). Следовательно , сравнение имеет единственное решение по модулю m.

Положим (a,m)=d>1. Согласно свойству 10, условие d/b является необходимым условием разрешимости сравнения (1). Будем считать его выполненным.

Пусть a=a₁d, b=b₁d, m=m₁d. Тогда рассматриваемое сравнение равносильно a₁x=b₁(mod m₁). Имеем одно решение: x=x₁(mod m₁). По модулю m имеет d решение.

Теорема: Пусть НОД a и m равно d ((a,b)=d), то ax=b(mod m) разрешимо тогда и только тогда, когда d/b. В этом случае оно имеет d решений. При небольшом m сравнение ax=b(mod m) решается подбором. Чтобы его решить, достаточно найти такое число u, что au=1(mod m). Это выполняется с помощью алгоритма Евклида. В качестве u можно взять также u=a.