Свойства числовых областей относительно вычислительных операций:

Операция	N	Z	Q+		R
Сложение а + в= х	всегда выполнимо
Вычита-ние а - в = х	Невсегда выполни­мо, например 3-5	всегда вы­полнимо		не всегда выполннимо, напр: 3,6 - 7,4	всегда выполнимо
Умноже-ние а•в= х Деление а :в = X	всегда выполнимо не всегда выполнимо

Порядок действий в вычислительных операциях

Первая ступень	Сложение и вычитание
Вторая ступень	Умножение и деление

Если при вычислении значения некоторого выражения должны выполняться вычислительные операции различных ступеней, то вторая ступень имеет преимущество перед первой ступенями.

Если в некотором выражении возникают различные вычислительные операции равных ступеней, то эти операции выполняются шагами слева направо, если не предписывается другой порядок следования скобками

.МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Модуль действительного числа — это само число, если оно неотрицательно. В противном случае его модуль — это противоположное ему число. |7|=7; |-3,5|=3,5; |3| = |-3|=3; |0|=0.

Для каждого числа а имеем |а| > 0..

6.Целые неотрицательные числа и отношение делимости

Последовательность 0, 1, 2, 3, n,.n+1...+ 1... представляет число 0 и целые неотрицательные числа в натуральном порядке следования.

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ►

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Было установлено, что каждое натуральное число n имеет однозначно определенное непосредственно последующее число: натуральное число n + 1. Каждое целое положительное число n, кроме 0, имеет однозначно определенное предшествующее натуральное число п- 1.

Отношение делимости

О_8.: Натуральное число а меньше натурального числа в (а < в) тогда и только тогда, когда существует некоторое натуральное число х,

не равное 0, такое, что а + х = в.

Пример:Верно: 3 < 5, так как 3 + 2 = 5 при 2 боль-шим 0. Не верно: 15 < 15, так как не существует натурального числа х такого, что 15 + х = 15.

О_{9 .}Натуральное число а называется делителем натурального числа в,тогда и только тогда, когда существует натуральное число х такое, что а•х=в. Например:4•3=12; 4 и 3 – делители числа 12.

О_10. Если а есть делитель в , то говорят, что в есть кратное а или в делится на а

Четные числа

О ₁₁ Натуральное число называется четным, если у него есть делитель 2, т. е. оно может быть представ-лено в виде 2•п.

Простые числа

О _{12 .}Натуральное число, делящееся только на еди-ницу и на самого себя, называется простым числом. Пример:число 2 является единственные четным простым числом.

Доказывается,что имеется бесконечно много прос-тых чисел.

Делимость суммы

Т₁ (делимость суммы в + с): Если а|в и а|с, то а|(в + с).

Пример:6|18 и 6|12, то 6|(18 + 12).

Делимость разности.

Т₂ (делимость разности в -с ): Если а|в и а|с, то а|(в - с)

Пример:3|12 и 3|18, то 6|(18 - 12).

Делимость произведения).

Т₃ (делимость произведения в * с): Если а|в и а|с, то а|(в• с).

Пример:6|18 и 6|12, то 6|(18• 12)

.

Наименьшее общее кратное (НОК)

О₁₃ Число, кратное нескольких натуральных чисел, называется общим кратным (ОК) этих чисел.

О₁₄ Наименьшее общее кратное (НОК) данных натуральных чисел – это наименьшее отличное от нуля число, которое делится на все данные числа. Пример: Имеет место НОК (2; 4; 40) = 40, так как оно является наименьшим числом, которое делится на 2, на 4 и на 40.

Число, кратное нескольких натуральных чисел, называется общим кратным (ОК) этих чисел.

О₁₅ Общий делитель (ОД) данных чисел – это число, на которое делятся все данные числа. Пример: Пусть ОД (25 и 75) , тогда ОД - 5, 25, 75.

О₁₆ Наибольший общий делитель (НОД) данных чисел – это наибольшее число, которое делит все данные числа. Пример: Имеет место НОК (2; 4; 40) = 40, так как оно является наименьшим числом, которое делится на 2, на 4 и на 40

.

Обратные теоремы ДЛЯ НОД и НОК , т. е.

«если а :(в + с), то а | в и а | с», неверно, что показы-вает следующий пример: Хотя 7|(39 + 3), но не имеет места ни 7[39, ни 7|13.

Хотя наименьшее общее кратное (НОК) данных натуральных чисел — это наименьшее отличное от нуля число, которое делится на все данные числа. При этом в определении исключен нуль, так как он есть кратное каждого числа. Если бы число нуль не исключалось, то НОК произвольных чисел всегда было бы равно 0.

Наибольший общий делитель (НОД) данных чисел — это наибольшее число, которое делит все данные числа.

Числа, не имеющие других общих делителей, кроме единицы, называются взаимно простыми.

Так как число 1 — делитель каждого числа, то оно также всегда общий делитель произвольных заданных чисел.