УРАВНЕНИЯ,

НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА

План

1. Числовые выражения и выражения с

переменной.

2. Числовые равенства и неравенства и их

преобразования.

3. Уравнения и их решение.

4. Неравенства с переменной и их решение.

Ключевые компетенции: математический алфавит, математические выражения, равенства и неравен-ства. уравнения и неравенства с переменной.

Основная: [1,гл.5][2, гл. 5] [3,гл. 7]

Дополнительная : [4,гл.7 ]

1. Математические выражения.

Любая наука пользуется своим языком: предложениями, словами-терминами, символами (специальными знаками) .

Алфавит математики состоит из 33 букв русского языка, цифр и специальных терминов. Разработаны правила составления из букв и других символов мате-матических выражений, имеющих смысл. Берутся ма-лые и большие буквы латинского алфавита и цифры. соединяются знаками арифметических действий в выражения. Например: 1) 2+3; 2) х+5=7; 3) х+ 5 >∞ явля-ются выражениями: первое --числовым , второе выра-жением с переменной (уравнение), третье—вообще не имеет смысла. Числовые выражения конструюруются из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9, знаков арифметических действий +, - , х, : из скобок (),{}, []. Цифра также выражение, а знаки действий и скобки—нет.

Два числовых выражения, соединёппые знаком «=»: а=в называются числовыми равенствами. 5+1=3+2 и 5+1=4+3 -- примеры числовых равенств. Однако первое равенство истинное, а второе - ложное. Аналогично два числовых выражения, соединёппые знаком

«>» или «>»: называются числовыми неравенствами: 5+1 < 3 и 5+1 > 2+1- примеры числовых неравенств. Однако первое равенство ложное, а второе – истиное.

Основные свойства числовых равенств: 1. Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим так-же истинное числовое равенство.

2. Если обе части истинного числового равен-ства умножить на одно и то же числовое вы-ражение, имеющее смысл, то получим так-же истинное числовое равенство.

Аналогичные свойства числовых неравенств:

1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравен-ство.

2. Если обе части истинного числового равен-ства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее положительное значение , то получим так-же истинное числовое неравенство.

3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же чис-ловое выражение, имеющее смысл и принима-ющее отрицательное значение, то чтобы получить истинное числовое неравенство необходимо знак неравенства поменять на противоположный.

Возьмём два выражения с переменной

5(х+1) и 5х+5. Областью их определения является множество действительных чисел. Составим таблицу, вычислим

Х	5(х+1)	5х+5
2	10	10
- 3	- 20	- 20
2,4	17	17

В выражениях можно выполнять все допустимые действия.

О_1. Два выражения тождественно равны, если при любыз значениях переменных из области определения выражений их соответ-вующие значения равны.

2. Уравнение и его решение.

Соединим знаком равенства два выражения: 5(х+1) и 15: 5(х+1) = 15, получим уравнение с одной переменной. Уравнение представляет высказывательную форму. Об истинности или ложности её можно судить только при подстановке в неё числовых значений из области определения пере-менной.

О_2. Пусть f (х) и g (х) – два выражения с переменной х и обастью определения Х , Тогда высказывательная форма вида

f (х) = g(х) называется уравнением.

Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истин-ное числовое равенство, называется его решением (или корнем). Найти множество решений данного уравнения -- значит решить это уравнение.

В начальном курсе математики рассмат-риваются простейшие уравнения вида х+а=в, а-х=в, х-а=в, ха=в, х:а=в и др. Решаются уравнения сначала подбором, а затем на основе связи между комнонентами и резуль-тами действия. Например, х-5=1: неизвесно уменьшаемое х, чтобы найти его, надо к разности 1 прибавить вычитаемое 1+5=6 и х=6. Проверка осуществляется подстановкой х=6 в уравнение 6-1 5, 5=5 (верно).

О_3. Два уравнения называются равносильными, если множество их решений равно.

Способы решения уравнений с одной переменной вытекают из двух теорем.

Т_1. Пусть уравнение f (х) = g(х) задано на множестве Х и h (х) – выражение, определённое на этом же множестве. Тогда уравнения

f (х) =g(х) и f (х)+ h (х) = g(х)+ h (х) равносильны на множестве Х.

Т_2. Пусть уравнение f(х) = g(х) задано на множестве Х и h (х) – выражение, определённое на этом же множестве и не обращающееся в нуль не при каких значениях из множества Х. Тогда урав-нения f (х) = g(х) и f(х)h(х)=g(х)h(х) равносильны на множестве Х. Пример: 2х+1=7. Вычтем из каждой части уравнения 1, получим 2х=6. Разделим каждую часть уравнения на 2, получим решение х=3.

3.Неравенство с переменной и его решение.

Соединим знаком неравенства < или > два выражения: х-5 и 10: х-5<3, получим неравенство с переменной. Неравенство выражает высказывательную форму, об истинности которой можно говорить только при подстановке в неё числовых значений из области определения переменной.

О_2. Пусть f (х) и g (х) – два выражения с переменной х и областью определения Х , тогда высказывательная форма вида

f (х)<g(х) или f (х)>g(х) называется неравенством с переменной.

.Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство с переменной обращается истинное числовое неравенство, называется его решением (или корнем). Найти множество решений данного неравен-ства с переменной -- значит решить это неравенство с переменной.

В начальном курсе математики рассма-триваются только простейшие неравенства вида х+1< 3. Решаются подбором.

О_3..Два неравенства называются равносильны-ми, если множество их решений равно.

Способы решения неравенств с одной переменной вытекают из трёх теорем.

Т_3. Пусть неравенство f (х) > g(х) задано на множестве Х и h (х) – выражение, определённое на этом же множестве. Тогда неравенства

f (х) > g(х) и f (х) + h (х) > g(х)+ h (х) равносильны на множестве Х.

Т_4. Пусть неравенство f (х) > g(х) задано на множестве Х и h (х) – выражение, определённое на этом же множестве и для всех х из множества Х h (х) > 0 . Тогда неравенство f(х) > g(х) и

f(х)h(х)>g(х)h(х) равносильны на множестве Х.

Т_5. Пусть неравенство f (х) > g(х) задано на множестве Х и h (х) – выражение, опре-делённое на этом же множестве и для всех х из множества Х h (х) <0 . Тогда неравенства

f (х) > g(х) и f(х)h(х) < g(х)h(х) равносильны на множестве Х.

Из последней теоремы вытекает следствие, что если правую и левую часть неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то для получения равносильного неравенства нужно переменить знак неравенства на противоположный.

МЕТОДЫКА ВЫВУЧЭННЯ АЛГЕБРАІЧНАГА МАТЭРЫЯЛУ Ў ПАЧАТКОВЫХ КЛАСАХ

План