45. Формула Тейлора для произвольной ф-и.

Пусть f(x) – ф-я общего вида(не многочлен) определена в окр-ти т. x₀ и имеет производные до n-го включительно в т. x₀. Для такой ф-и составим многочлен Тейлора.

P_n(x) = f(x₀) + (x-x₀) + (x-x₀)² + (x-x₀)³ + … + (x-x₀)ⁿ (1).

Т.к. ф-я f’(x) не явл. многочленом, то ф-ла (1) дает лишь некоторое приближение к f(x), с помощью которого f(x) может быть вычислена с некоторой степенью точности. Поэтому разность f(x)-P_n(x) назовем остаточным членом и обозначим R_n(x). Тогда f(x) может быть представлена f(x)=P_n(x) + R_n(x), где P_n(x) – многочлен Тейлора для f(x).

Остаточный член – погрешность приближенного равенства (которую получают при замене f(x) многочленом). f(x) ≈ P_n(x).

Теорема: если f(x) определена в некоторой окр-ти т. x₀ и имеет в ней производные до n-го порядка включительно и Ǝf^(n-1)(x). Пусть существ. производная n+1-го порядка в окр-ти т.x₀. тогда для любого x из этой окр-ти найдется такая Cϵ(x,x₀), что справедлива след. ф-ла: f(x) = f(x₀) + (x-x₀) + (x-x₀)² + … + (x-x₀)ⁿ + (x-x₀)ⁿ⁺¹ (2), (C=x₀ + ϴ(x-x₀) , 0<ϴ<1).

Ф-ла (2) назыв. ф-лой Тейлора для ф-и f9x) с остаточным членом в форме Лагранжа.

R_n= (x-x₀)ⁿ⁺¹ – остат. член в форме Лагранжа.

Остаточный член в форме Лагранжа исп. для вычисления погрешности заменой ф-и f(x) многочленом Тейлора. Очевидно, что при n→∞ => R_n(x)→0, т.к. в этом случае (n+1)! растет быстрее показательной ф-и. (x-x₀)ⁿ⁺¹ может быть б.м. при n→∞, если x близко к x₀.

В тех случаях, когда оценивать погрешность не надо, остат. член записывают в форме Пеано: R_n(x) = 0((x-x₀)ⁿ) . Ф-ла Тейлора с остат. членом в форме Пеано имеет вид: f(x) = f(x₀) + (x-x₀) + (x-x₀)² + … + (x-x₀)ⁿ + 0((x-x₀)ⁿ) (3).

Если в ф-ле (2) или (3) положить x₀=0, то получ. частный случай ф-лы Тейлора (ф-ла Маклорена): f(x) = f(0) + x + x² + … + xⁿ + 0(xⁿ) (4).

Частный случай ф-лы (2) при n=0:

f(x) = f(x₀) + (x-x₀) или f(x) – f(x₀) = (x-x₀)  Δf(x₀) = f’(C) Δx , где x₀<C<x – ф-ла Лагранжа для конечных приращений.

46. Стандартные разложения.

Стандартное разложение получено по ф-ле (4) при x₀=0.

1. y=e^x |_x=0 = 1, y’=e^x |_x=0 = 1, y’’=e^x |_x=0 = 1, … , y⁽ⁿ⁾ = e^x |_x=0 = 1.

e^x = 1 + + + … + + 0(xⁿ), R_n(x) = *xⁿ⁺¹, 0<С<1 – остат. член в форме Лагранжа для показательной ф-и.

y⁽ⁿ⁺¹⁾ = e^x | _x=C = e^C

2. y=sinx |_x=0 = 0, y’=cosx |_x=0 = 1, y’’=-sinx |_x=0 = 0, y’’’=-cosx |_x=0 = -1, y^iv=sinx |_x=0 = 0, y^v=cosx |_x=0 = 1, y^vi=-sinx |_x=0 = 0, y^vii=-cosx |_x=0 = -1

sinx = x – + – + … + (-1)^n-1* + 0(x²ⁿ).

R_n(x) = (-1)ⁿ * *xⁿ⁺¹ – остат. член в форме Лагранжа для y=sinx.

Т.к. ф-я y=sinx – нечетн., то в разлож. по ф-ле Тейлора содерж. только нечетн. степени x.

3. y=cosx |_x=0 = 1, y’=-sinx |_x=0 = 0, y’’=-cosx |_x=0 = -1, y’’’=sinx |_x=0 = 0, y^iv=cosx |_x=0 = 1

cosx = 1 - + - + … + (-1)ⁿ* + 0(x²ⁿ⁺¹)

Т.к. ф-я y=cosx – четн., то в разлож. по ф-ле Тейлора содерж. только четн. степени x.

4. αϵR. y=(1+x)^α |_x=0 = 1, y’=α(1+x)^α-1 |_x=0 = α , y’’=α(α-1)(1+x)^α-2 |_x=0 = α(α-1)

y’’’=α(α -1)( α -2)(1+x)^α-3 |_x=0 = α(α-1)( α-2), y⁽ⁿ⁾ = (α(α-1)( α-2)…(1+x)^α-n |_x=0 = α(α-1)…(α-n+1)

(1+x)^α = 1+ x + + + … + + 0(x_n) биномиальное разлож-е

5. y=ln(1+x) |_x=0 = 0, y’ = |_x=0 = 1, y’’ = |_x=0 = -1, y’’’ = |_x=0 = 2! , y^iv = |_x=0 = -3!, …, yⁿ = |_x=0 = (-1)^n-11*2*…*(n-1) = (-1)^n-1(n-1)!

ln(1+x) = x - + - + … + + 0(xⁿ) = x - + - + … + + 0(xⁿ).

Определение числа e с точностью до 0,001.

Воспользуемся стандартным разложением e^x в форме Лагранжа:

e^x = 1 + + + + … + + *xⁿ⁺¹.

Пусть x=1: e = 2 + + + … + + , R_n = < <0,001 => e^C<e<3

При n=5 => R_n = = ≈ 0,00416

При n=6 => R_n = ≈ 0,00059 < 0,001

e = 2 + + + + + ≈ 2,718

47. Достаточное усл-е монотонности ф-и.

Теорема: пусть ф-я f(x) дифференцируема на (a,b), если:

1. f'(x)>0, то f(x) монот. возраст. на (a,b)

2. f’(x)<0, то f(x) монот. убыв. на (a,b)

3. f’(x)≡0, при xϵ(a,b), то f(x) = const.

Док-во: выберем произвольный отрезок [x₁,x₂]c(a,b) и на этом отрезке запишем ф-лу конечных приращений Лагранжа, т.е.ƎѮϵ(x₁,x₂),

f(x₂) – f(x₁) = f’(Ѯ)(x₂-x₁) (*)

1. пусть f’(x)>0 при xϵ(a,b), то f’(Ѯ)>0. Тогда из (*) получаем f(x₂) – f(x₁)>0 => f(x₂) > f(x₁) x₂>x₁, т.е. f(x) монотонно возраст. на (a,b)

2. пусть f’(x)<0 при xϵ(a,b), то f’(Ѯ)<0. Тогда из (*) получаем f(x₂) – f(x₁)<0 => f(x₂)<f(x₁) x₂<x_1, т.е. f(x) монотонно убывает на (a,b)

3. пусть f’(x)≡0 при xϵ(a,b), то f’(Ѯ)≡0. Тогда из (*) получаем f(x₂) – f(x₁)=0 => f(x₂)=f(x₁), т.е. f(x) постоянная на (a,b).

48. Определение локального экстремума.

Пусть ф-я f(x) определена на (a,b).

Опред.1: ф-я f(x) имеет локальный максимум в т. x₀ϵ(a,b), если Ǝ такая окр-ть этой точки, что все значения ф-и в этой окр-ти будут меньше значений ф-и в т. x₀, т.е. (Ǝƃ>0)( xϵ(a,b),|x-x₀|<ƃ):f(x)<f(x₀). Если выполняется неравенство f(x)≤f(x₀), то такой максимум называется нестрогим.

Опред.2: ф-я f(x) имеет в т. x₀ϵ(a,b) локальный минимум, если существует такая окр-ть этой точки, что все значения ф-и в этой окр-ти будут больше значений ф-и в т. x₀, т.е. (Ǝƃ>0)( xϵ(a,b),|x-x₀|<ƃ):f(x)>f(x₀). Если выполняется неравенство f(x)≥f(x₀), то такой минимум называется нестрогим.

Точки лок. макс. и мин. назыв. точками экстремума.

Необходимое условие экстремума.

Если f(x) имеет локал. Экстремум в т. x₀ϵ(a,b), то f’(x)=0, либо f’(x)=∞, либо не существует.

Док-во: предположим, что т. x₀ϵ(a,b) – точка локал. Максимума и пусть существует f’(x). Покажем что f’(x)=0.

Запишем определение точки максимума: (Ǝƃ>0)( xϵ(a,b), x₀–ƃ<x< x₀+ƃ):f(x₀)≥f(x) и составим отношение :

1. пусть x→x₀, x<x₀: ≥0

рассмотрим = f_-‘(x₀)≥0

2. пусть x→x₀, x>x₀: ≤0

= f₊‘(x₀)≤0.

Мы предположили, что Ǝf’(x₀) => f_-‘(x₀) = f₊’(x₀) = f’(x₀) => f(x₀)=0.

Аналогично доказывается, если x₀ – точка локал. минимума и существует f’(x₀).

С лучай, когда x₀ - точка локал. экстремума и либо f’(x₀)=∞, либо не сущ. Покажем на примерах.

1. y=|x|, x=0 – т. min

f ’(0) не существует

2. y=1-|x|, x=0 – т.max

f’(0) не существует

3. y =

y’= , y’(0)=∞

x =0 – т. min

4. y=

y’= , y’(0)=∞, x=0 – т. max

теорема дает необходимое, но не достаточное усл-е экстремума. Необходимое усл-е экстремума исп. для нахождения точек, в которых экстремум может быть, а может не быть. Такие точки назыв. точками подозрительными на экстремум.

49. Достаточные условия экстремума.

Первое достат. усл-е экстремума:

Пусть ф-я f(x) опред. на (a,b) и дифференцируема в окр-ти т. x₀ϵ(a,b), за исключением быть может самой этой точки. Тогда если при переходе через т. x₀ f’меняет знак.

1. f’(x)>0 при x<x₀ , f’(x)<0 при x>x₀, т.е. с «+» на «-», то т.x₀ – точка локал. max

2. f’(x)<0 при x<x₀ , f’(x)>0 при x>x₀, т.е. с «-» на «+», то т.x₀ – точка локал. min

если при переходе через т. x₀ f’ не меняет знак, тото в т. x₀ экстремума нет.

Док-во: выберем отрезки из окр-ти т. x₀, где f(x) явл. дифференцируемой и для каждого отрезка запишем ф-лу конечного приращения Лагранжа.

ƎѮ₁ϵ(x,x₀):f(x₀)-f(x)=f’(Ѯ₁)(x₀-x) (1)

ƎѮ₂ϵ(x₀,x):f(x)-f(x₀)=f’(Ѯ₂)(x-x₀) (2).

Предположим, что при переходе через т. x₀ f’ меняет знак с «+» на «-», т.е. f’(x)>0 при x<x₀ и f’(x)<0 при x>x₀.

Тогда f’(Ѯ₁)>0 и из (1) следует, что f(x₀)-f(x)>0 f(x)<f(x₀) для xϵ(x₀-ƃ;x₀+ƃ), x₀ – т. лок. max

f’(Ѯ₂)<0 и из (2) следует, что f(x)-f(x₀)<0

Пусть f’(x₀) меняет знак с «-» на «+», т.е. f’(x)<0 при x<x₀ и f’(x)>0 при x>x₀.

Тоогда f’(Ѯ₁)<0 и из (1) => f(x₀)-f(x)<0 f(x)>f(x₀) для xϵ(x₀-ƃ;x₀+ƃ), x₀ – т. лок. min

f’(Ѯ₂)>0 и из (2) => f(x₀)-f(x)>0

пусть при переходе через т.x₀ f’ не меняет знак, например f’(x)>0 при x<x₀ и при x>x₀, т.е. f’(Ѯ₁)>0 и f(Ѯ₂)>0.

Тогда из (1) => f(x₀) – f(x)>0 => f(x)<f(x₀) при x<x₀

Из (2) => f(x) – f(x₀)>0 => f(x)>f(x₀) при x>x₀. Это означает, что в т.x₀ экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума:

Пусть ф-я f(x) определена на (a,b) и для нее выполнены след. усл-я:

1. f(x)ϵCⁿ(a,b)

2. Ǝx₀ϵ(a,b),f’(x₀)=f’’(x₀)=…=f^(n-1)(x₀)=0

3. f⁽ⁿ⁾(x₀)=0.

Тогда, если 1-я отличная от нуля производная в т. x₀ есть производная нечетного порядка, то в x₀ экстремума нет.

Если такой производной явл. производная четного порядка, то ф-я f(x) имеет в т. x₀ локальный max, если f⁽ⁿ⁾(x₀)<0 и локальный min, если f⁽ⁿ⁾(x₀)>0.

Теорема без док-ва.

Следствие. Если f(x) дважды непрерывно диффер. на (a,b) и Ǝx₀ϵ(a,b) такая, что f’(x₀)=0, а f’’(x₀)≠0, то при f’’(x₀)<0 x₀ – точка локального max, а при f’’(x₀)>0 x₀ – точка локального min.

50. Определение выпуклой и вогнутой ф-и.

Опред.1: пусть ф-я f(x) непрер на [a,b]. f(x) назыв. выпуклой ф-ей, если все точки любой дуги ее графика лежат выше соответствующей хорды.

Условие выпуклости ф-и можно записать в виде: ≥ (1) ( x₁, x₂ϵ(a,b), x₁<x<x₂). при x→x₁ f’(x₁) при x→x₂ f’(x₂)

Условие (1) при x→x₁ и x→x₂ означает, что f’(x₁)≥f’(x₂)

tgα=f’(x₁), tgβ=f’(x₂), ∠α≥∠β.

Опред.2: пусть ф-я f(x) непрер. на [a,b]. f(x) назыв. вогнутой на [a,b], если все точки дуги ее графика лежат ниже соответствующей хорды.

Условие вогнутости ф-и можно записать в виде: : ≤ (2) ( x₁, x₂ϵ(a,b), x₁<x<x₂). при x→x₁ f’(x₁) при x→x₂ f’(x₂)

Условие (2) при x→x₁ и x→x₂ означает, что f’(x₁)≤f’(x₂)

tgα=f’(x₁), tgβ=f’(x₂), ∠α≤∠β.

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) ф-и.

Теорема 1:

Пусть ф-я f(x) определена на [a,b] и удовлетворяет след. усл-ям:

1. f(x)ϵC[a,b] (непрер. на [a,b])

2. f(x) – дифференцируема на (a,b)

Для того, чтобы f(x) была выпуклой на отрезке [a,b], необх. и достат., чтобы ее первая производная была убывающей на (a,b) хотя бы в широком смысле(≤).

Для того, чтобы f(x) была вогнутой на отрезке [a,b], необх. и достат., чтобы ее первая производная была возрастающей на (a,b) хотя бы в широком смысле.

Док-во: достаточность.

Пусть f’(x) – монотонно убыв. на (a,b). Покажем, что f(x) выпуклая ф-я. Для этого выберем два отрезка из (a,b) => [x₁,x]c(a,b), [x,x₂]с(a,b) и на каждом из отрезков запишем ф-лу Лагранжа конечных приращений, т.е. ƎѮ₁ϵ(x₁,x):f(x)-f(x₁)=f’(Ѯ₁)(x-x₁).

ƎѮ₂ϵ(x,x₂):f(x₂)-f(x)=f’(Ѯ₂)(x₂-x).

f'(Ѯ₁)= (*)

f’(Ѯ₂)= (**)

по условию f’(x) монот. убыв. на (a,b).

Тогда при Ѯ₁< Ѯ₂^f’(Ѯ₁)≥f’(Ѯ₂).

Тогда из (*) и (**) получаем : ≥ , а это есть опред.(1) выпуклой ф-и.

Аналогично можно доказать вторую часть теоремы для вогнутой ф-и.

Теорема 2:

Пусть ф-я f(x) определена на [a,b] и удовлетв. след усл-ям:

1. f(x)ϵc’[a,b] (непрер. диффер.)

2. Ǝf’’(x) на (a,b)

Тогда f(x)–вогнутая на [a,b], если f’’(x)<0 на (a,b) и f(x)–вогнутая на [a,b], если f’’(x)>0 на (a,b).

Док-во: пусть f’’(x)<0 на (a,b).

Тогда (f’(x))’<0 => f’(x) монот. убыв. на (a,b). Тогда по теор.1 f(x) – выпуклая на [a,b].

Пусть f’’(x)>0 на (a,b).

Тогда (f’(x))’>0 => f’(x) монот. возраст. на (a,b). Тогда по теор.1 f(x) – вогнутая на [a,b].

51. Точки перегиба.

Точку М(x₀, f(x₀)) графика y=f(x) назыв. точкой перегиба, если она отделяет участок кривой, где f(x) выпуклая от участка, где f(x) вогнутая и наоборот.

Достаточное условие точки перегиба.

Пусть f(x) определена на [a,b] и удовлетв. след. усл-ям:

1. f(x)ϵC’[a,b]

2. Ǝf’’(x) в окр-ти т.x₀ϵ(a,b)

Для того, чтобы т.x₀ являлась точкой перегиба ф-и f(x) необх. и достат., чтобы f’’(x)=0 при условии, что f’’(x)≠0 в окр-ти т. x₀ и чтобы при переходе через x₀ f’’(x) меняла знак.

Пусть Ǝx₀ϵ(a,b) такая, что при переходе через которую f’’(x) меняет знак. Пусть при x<x₀ f’’(x)>0, а при x>x₀ f’’(x)<0. По теореме 2, если f’’(x)>0, то f(x) – вогнутая при x<x₀, если f’’(x)<0, то f(x) – выгнутая при x>x₀. Тогда по определению x₀ – точка перегиба.

52. Определение неопределенного интеграла.

Опред.1: ф-ю F(x) назыв. первообразной ф-ей на (a,b) для ф-и f(x), если xϵ(a,b) F(x) явл. дифференцируемой и удовлетв. усл-ю F’(x)=f(x).

Теорема: если F₁(x) и F₂(x) – любые первообразные для ф-и f(x) на (a,b), то в любой точке этого интервала имеет место равенство F₂(x)=F₁(x)+C, где С-произвольная const.

Док-во: пусть F₁(x) и F₂(x) – первообразные для f(x), т.е. F₁’(x)=f(x) и F₂’(x)=f(x).

Тогда F₂’(x)-F₁’(x)=0

(F₂(x)-F₁(x))’=0 для xϵ(a,b)

F₂(x)-F₁(x)=C=const => F₂(x)=F₁(x)+C.

Следствие: все первообразные для ф-и f(x) можно задать формулой F(x)+C, где F(X) – одна из первообразных, а С – произвольная const.

Опред.2: мн-во всех первообразных для данной ф-и f(x) на (a,b) назыв. неопределенным интегралом и обознач. ∫f(x)dx, где ∫- знак интеграла, f(x) – подынтегральная ф-я, а dx – подынтегральное выражение.

∫f(x)dx = F(x) + C

Свойства неопределенного интеграла.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтеграл. выражению, а производная – подынтеграл. ф-и.

d(∫f(x)dx) = f(x)dx

(∫f(x)dx)' = f(x)

Док-во: f(x)dx = F(x) + C, где F’(x) = f(x)

d(∫f(x)dx) = d(F(x) + C) = d(F(x)) = F’(x)dx = f(x)dx ч.т.д.

(∫f(x)dx)’ = (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x) ч.т.д.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой ф-и равен сумме этой ф-и и произвольной постоянной.

∫dF(x) = f(x) + C

Док-во: ∫dF(x) = ∫F’(x)dx = ∫f(x)dx = f(x) + C ч.т.д.

∫dx = x + C

3. Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

∫αf(x)dx = α∫f(x)dx

Док-во: ∫αf(x)dx = ∫αF’(x)dx = ∫(αF’(x))’dx = ∫d(αF(x)) = αF(x) + C₁ = α(F(x) + C₁/α) = α(F(x) + C) = α∫f(x)dx ч.т.д.

4. Интеграл от алгебраической суммы ф-й равен алгебраической сумме интегралов от этих ф-й.

∫(f(x)±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

Док-во: пусть F(x) – первообразная для f(x), т.е. F’(x)=f(x), а G(x) – первообразная для g(x), т.е. G’(x)=g(x).

∫(f(x)±g(x))dx = ∫(F’(x)±G’(x))dx = ∫(F(x)±G(x))’dx = ∫d(F(x)±G(x)) = F(x)±G(x)+C = (F(x)+C₁)±(G(x)+C₂), где C+C₁+C₂ = ∫f(x)dx±∫g(x)dx.

5. Инвариантность ф-лы интегрирования.

Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(u)du=F(u)+C, где г=г(ч) – произвольная непрерывно-дифференцируемая ф-я. Это св-во следует из св-ва инвариантности формы первого дифференциала.

∫f(x)dx=F(x)+C, dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx, где x-независимая переменная.

Пусть u=u(x)^ dF(u(x))=(F(u(x)))’=F_u’*u_x’dx=f(u)du => ∫f(u)du=F(u)+C.

53. Таблица интегралов.

1) ∫x^αdx = +C (α≠-1)

= = x^α

2) α=-1 => ∫x^-1dx = ∫ = ln|x|+C

ln|x|=ln(x) при x>0 и ln(-x) при x<0

(ln|x|)’= 1/x при x>0 и 1/x при x<0

3. ∫ = arctgx + C или –arctgx + C

4. ∫ =

5. ∫ = arcsinx + C или –arcsinx + C

6. ∫ = ln|x+ |+C = (+)Arshx + C или (-) Archx + C

7. ∫a^xdx = + C

8. ∫e^xdx = e^x + C

9. ∫sinxdx = -cosx + C

10. ∫cosxdx = sinx + C

11. ∫ = tgx + C

12. ∫ = ctgx + С

13. ∫shxdx = chx + C

14. ∫chxdx = shx + C

15. ∫ = thx + C

16. ∫ = -cthx + C

Дополнение к таблице интегралов.

1) ∫ =

∫ = ∫ = =

2) ∫ =

∫ = = = =

3. ∫ =

∫ = = =

4) = arcsin + C

= = = arcsin + C

5) = ln|x + | + C

= = = + C = +C= ln|x + | - lna + C = ln|x + | + C₁

6) = ± + C

= = = + C = =± + C

7)

= |x=asint, dx=acostdt, =acost| = = = = = = + C = = + C = + C = , при cos²t= , sint=x/a, cost= , t=arcsin(x/a).

8) dx =

54.Замена переменной в неопределенном интеграле.

Теорема: пусть ф-я x=ϕ(t) определена и дифференцируема на (α;β), а мн-во ее значений есть (a,b).

Пусть для ф-и f(x) на (a,b) существует первообразная F(x), т.е. ∫f(x)dx= F(x)+C.Тогда всюду на (α;β) существует первообразная для ф-и f(ϕ(t))*ϕ’(t) и имеет место ф-ла

∫f(x)dx = ∫f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt = F(ϕ(t)) + C

Док-во: F(x) – первообразная для f(x). найдем дифференциал d(F(ϕ(t))+C)=(F(ϕ(t))+C)_t’dt = =F’(ϕ(t))*ϕ’(t)dt = f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt => ∫f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt = F(ϕ(t))+C (1)

d(F(ϕ(t))+C)=f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt=f(x)dx при x=ϕ(t), ϕ’(t)dt=x_t’dt=dx

∫f(x)dx=f(ϕ(t))+C (2)

Объединяя (1) и (2)б, получаем:

∫f(x)dx=∫f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt=F(ϕ(t))+C. полученная ф-ла назыв. ф-лой замены переменной в неопределенном интеграле.

В некоторых примерах, когда под знаком корня стоят выр-я, содержащие x²б аналогичные замены ен приводят к верному решению. Для интегралов такого вида сещуствуют спец. Замены:

1. ∫R(x, )dx => замена x=asint, dx=arccost+dt(a>0)

= = = = a|cost| = acost

x=asint => sint = => t=arcsin , tϵ[ ], cost>0

∫R(x, )dx = ∫R(asint, acost)*acostdt

2. ∫R(x, )dx => замена x=asht, dx=acht+dt(a>0)

= = = = a|cht| = acht

ch²t – sh²t = 1

∫R(x, )dx = ∫R(asht, acht)*achtdt

Либо: x=atgt, dx=

= = = =

1 + tg²t = 1 + =

x=atgt => tgt = => t = arctg , tϵ[ ]

∫R(x, )dx = ∫R(atgt, )

3. ∫R(x, )dx => замена x=acht, dx=ashtdtб либо x=

= = = = a|sht| = asht

∫R(x, )dx = ∫R(acht, asht)*ashtdt

Либо: x= , dx=

= = = = a|ctgt|= actgt.

= = = ctg²t

∫R( ,actgt)actgtdt.

55. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Теор.: пусть каждая из ф-й u(x) и v(x) определены и диффер. на (a,b) и пусть на этом мн-ве сущ. первообразная для ф-и u(x)*v’(x). Тогда на (a,b) сущ. первообразная для ф-и v(x)*u‘(x) и имеет место ф-ла ∫u(x)*v’(x)dx = uv - ∫v(x)*u’(x)dx или ∫udv = uv - ∫vdu.

Док-во: рассмотрим дифференциал d(uv) = vdu + udv

udv = d(uv) – vdu |∫ => ∫udv = ∫d(uv) - ∫vdu

∫udv = uv - ∫vdu – формула интегрирования по частям

Для применения этой формулы подынтегральные выр-я нужно представить в виде одной ф-и на дифференциал другой ф-и.

Применяется к ∫ след вида:

1. ∫f(x)dx, где f(x) – обратная ф-я

f(x) = {lnx, , arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx}, f(x)=u, dx=dv

2. ∫f(x)P(x)dx, где f(x)= {lnx, , arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx}, f(x)=u, P(x)dx=dv, P(x) – рациональная или иррациональная ф-я.

3. ∫P(x)f(x)dx, где P(x)-многочлен, f(x) = {e^x, a^x, sinx, cosx, tgx, ctgx}, P(x)=г

4. ∫e^axcosbxdx и ∫e^axsinbxdx – круговые интегралы.

Эти интегралы вычисляются 2 раза по частям. В результате двукратного применения ф-лы интегрирования по частям, в правой части получаем такой же интеграл, что и в левой. Вычисляем этот интеграл, решая алгебраическое уравнение. В круговых интегралах не важно, какую из ф-й обозначить за u.

e^iϕ=cosϕ+isinϕ, cosϕ=Re e^iϕ, sinϕ=Im e^iϕ. Re-действительная часть, Im-мнимая часть.

56. Понятие о рациональных и дробно-рациональных функциях. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Опред.1: ф-я, равная отношению двух многочленов, назыв. дробно-рациональной ф-ей, или рациональной дробью. , (m,nϵN, a₀, a₁, …, a_n, b₀, b₁, …, b_m – действительные числа, a₀≠0, b₀≠0).

Опред.2: рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе(n<m). В противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде многочлена и правильной рациональной дроби.

= L_n-m(x) + , где L_n-m(x)-многочлен степени n-m), R_k(x) – многочлен степени k, где k<m, т.е. – правильная рациональная дробь.

Интегрирование правильной рациональной дроби сводится к разложению ее на сумму простейших дробей. Для этого необходимо найти корни знаменателя, т.е. решить ур-е Q_m(x)=0 и разложит знаменатель на сомножители. Если в этом разложении x=a является действительным корнем первой кратности(т.е. встречается один раз), то ему соответствует простейшая дробь вида , где А-неизвестный коэффициент, подлежащий определению.

Если x=a явл. действительным корнем кратности k(т.е. в разложении встречается k раз), то ему соответствует сумма k дробей вида , где A₁, A₂, …, A_k – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Если знаменатель Q_m имеет комплексно-сопряженные корни первой кратности, то они определяются квадратным трехчленом x²+px+q, D=p²-4q<0. Этой паре комплексно-сопряженных корней соответствует , где M,N – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Если комплексно-сопряженные корни имеют кратность k, то им соответствует сумма k дробей вида + + … + , где M_i, N_i(i=1,2,…,k) – неизвестные корни, подлежащие определению.

57. Интегрирование простейших дробей.

Опред.: простыми или простейшими рациональными дробями назыв. дроби вида: , , , , где A, a, M, N, p, q – действительные числа, k-натуральное число, а квадратный трехчлен x²+Px+q не имеет действительных корней, т.е. D=p²-4q<0.

1. 

2. 

3. , D=p²-4q<0

При интегрировании используется метод интегрирования квадратного трехчлена, выделяется полный квадрат

= (выделяем полный квадрат в знаменателе) = = (замена x+(p/2)=t, x=t-(p/2), dx=dt, 0< ) = (разбиваем на два интеграла, один содержит t, другой нет) = = = = = , где

4. = = = (замена x+(p/2)=t, x=t-(p/2), dx=dt, 0< ) = = + = = = .

вычисляется по рекуррентной формуле.

58. Вывод рекуррентной формулы.

= = | = = , dv=dx, v=x | = = + = = + = + - = + 2nI_n – 2na²I_n+1

I_n = + 2nI_n – 2na²I_n+1 => 2na²I_n+1 = + (2n-1)I_n |/2na²

I_n+1 = + I_n = |n+1=k, n=k-1|

I_k = + I_k-1

= + * , (k>1)

59. Интегрирование иррациональных ф-й. Дробно-рациональные подстановки.

Интегрирование иррациональных выражений производится методом рационализации подынтегрального выражения. Суть метода состоит в том, что с помощью определенных замен под знаком получают рациональную дробь, которую можно интегрировать стандартными способами, разложив на простейшие дроби.

1. Вычисление интегралов вида , где К – рациональная ф-я своих аргументов, a, b, c, у – действительные числа, m≥2 – натуральное число. Обязательно в этом интеграле под корнем стоит дробно-линейная ф-я, которая в частном случае может быть линейной.

– дробно-линейная ф-я(отношение двух линейных ф-й). если c=0, e=1 => ax+b

Интегралы такого вида вычисляются с помощью замены .

Покажем, что такая замена приводит к рационализации подынтегрального выражения. Выразим x и найдем dx.

ax+b=cxt^m+et^m => x(a-ct^m)=et^m-b => x= – рациональная дробь

dx= =

= ч.т.д.

2. Вычисление интегралов вида , гдеR-рациональная ф-я своих аргументов, a,b,c,e – действительные числа, – несократимые дроби.

Замена , где – общий знаменатель дробей .

Покажем, что в этом случае снова получаем рациональную дробь.

Из предыдущего известно, что x= , dx = .

, где r₁ – целое число

, где r₂ – целое число

, где r_k – целое число

В результате получаем интеграл: . ч.т.д.

60. Интегрирование дифференциального бинома. Подстановки Чебышева.

Выражение x^m(a+bxⁿ)^pdx назыв дифференциальным биномом. Здесь a,b – действительные числа, m, n, p – рациональные(несократимые дроби).

Интегрирование дифференциального бинома производится только в трех случаях, с помощью подстановок Чебышева.

1 случай: p-целое. Тогда интеграл от диффер. бинома сводится к интегралам вида (2)

. Замена x=t^k, где k-общий знаменатель дробей n и m.

2 случай: p-дробное, но – целое.

= |замена: xⁿ=t, x=t^1/n, dx= | = = = = | замена: a+bt=z^q, где q-знаменатель дроби p| => a+bxⁿ=z^q.

3 случай: p-дробное, но – целое.

= | замена: xⁿ=t, x=t^1/n, dx= | = = = = = = = . Замена: =z^q, где q-знаменатель дроби p. =z^q.

Подстановки Чебышева.

1. p-целое: x=t^k, где k – общий знаменатель дробей m и n.

2. p-дробное, но – целое: a+bxⁿ=z^q, где q- знаменатель дроби p.

3. p-дробное, но – целое: =z^q или , где q – знаменатель дроби p.

61. Подстановки Эйлера.

Для вычисления интегралов вида используются подстановки Эйлера. Будем рассматривать случай, когда ax²+bx+c>0 и квадратный трехчлен не имеет двух одинаковых корней.

Рассмотрим три подстановки, с помощью которых можно достигнуть рационализации подынтегрального выражения.

1 подстановка Эйлера: a>0 .

Выберем знак +: ax²+bx+c=t²+2 xt+ax² => bx–2 xt=t²–с

X=

dx= = .

= .

2 подстановка Эйлера: c>0,

Выберем знак +: ax²+bx+c=t²x²+2tx +с => ax²-t²x²=2tx -bx => x²(a-t²)=x(2t -b)

x=

dx= =

= =

3 подстановка Эйлера: ax²+bx+с имеет действительные корни

ax²+bx+с = a(x-x₁)(x-x₂), где x₁ и x₂ – действительные корни

= t(x-x₁) или = t(x-x₂). Выберем = t(x-x₁).

= t(x-x₁) => a(x-x₁)(x-x₂) = t²(x-x₁)² => ax-ax₂=t²x-t²x₁

ax-t²x=ax₂-t²x₁ => x = подставим x в t(x-x₁)

= t( – x₁) = t = t =

dx = = =

= .

62. Интегрирование тригонометрических функций.

1. вычисление интегралов вида , (m,n cZ)

А) m – нечетное(m>0, m=2k+1)

= = = =| замена cosx=t| =

Б) n – нечетное(n>0, n=2l+1)

= = = = =|замена sinx=t| = .

В) n,m – четные(n>0, m>0)

В этом случае для вычисления интеграла применяют ф-лы понижения порядка

, m=2k, n=2l

= = =

Г) m+n – четное, (m+n)<0

= | замена tdx=t, x=arctgt, , , | = = .

2. Вычисление интегралов вида , где R-рацион. ф-я относит. sinx и cosx.

С помощью стандартных подстановок, интеграл сводится к интегралу от рационал. дроби.

1. R-нечетная ф-я относит. sinx, т.е. R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx). Замена cosx=t.

= = = =|cosx=t| = .

2. R-нечетная ф-я относит. cosx, т.е. R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx). Замена sinx=t.

= = =|sinx=t| = .

3. R-четная ф-я относит. sinx и cosx, т.е. R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx). Замена tdx=t.

= | tgx=t, x=arctgt, , , | = = = |tgx=t| = .

4. Универсальная тригонометрическая подстановка tg(x/2)=t.

Подходит для любых интегралов вида (2)

= =

cosx = =

sinx = = = =

sinx = =

.

63. Определение интеграла Римана. Функции, интегрируемые по Риману.

Пусть на отрезке [a,b] задана непрер. ф-я f(x). Разобьем отрезок на n частей точками a=x₀<x₁<x₂<…<x_i<…<x_n=b и обозначим Δx_i=x_i-x_i-1(i=1,2, …,n)- длина элементар. отрезка.

Λ=max{Δx₁,Δx₂, …,Δx_n} – диаметр разбиения.

Выберем в каждом элементарном отрезке произвольную точку Ѯ_iϵ[x_i-1, x_i] (i=1,2,…,n).

Значения ф-и в произвольной точке Ѯ_i умножаем на длину соответствующего отрезка и суммируем по всем отрезкам. В результате получаем выражение In= , которая назыв. интегральной суммой для ф-и f(x) на [a,b].

Опред.: если существует предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, не зависящий от способа разбиения отрезка [a,b] и от выбора произвольных точек (Ѯ_i), то он назыв. определенным интегралом или интегралом Римана для ф-и f(x) на [a,b] и обозначается , при этом границы отрезка [a,b] назыв. соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Ǝ .

Если для ф-и f(x) на [a,b] существует определенный интеграл, то ф-ю f(x) назыв. интегрируемой по Риману на отрезке [a,b] и обозначают f(x)ϵR[a,b].

Интегрировать по Риману можно след. ф-и:

1. f(x)-непрер. на [a,b]

2. f(x) – огранич. на [a,b], имеющая конечное число точек разрыва.

Геометрический смысл интеграла Римана.

S_i=f(Ѯ_i)Δx_i – площадь элемент. Прямоугольника

In= – площадь n-элемент-го прям-ка(площадь ступенчатой ф-ры.

i

Чтобы равенство было точное, диаметр разбиения необходимо устремить к нулю.

.

Интеграл Римана численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), снизу – отрезком [a,b] действительной оси и прямыми x=a и x=b.

64. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.

1) если f(x)ϵR[a,b] и g(x)ϵR[a,b], то (f(x)±g(x))ϵR[a,b]

= ±

Док-во: рассмотрим интеграл = = = = ± = = .

2) если f(x)ϵR[a,b] и CϵR, C=const, то ф-я (Cf(x))ϵR[a,b]

= .

Док-во: рассмотрим = [ по определению ] = = = = .

3) если f(x)ϵR[a,b] и a<c<b (т.е. c-внутренняя точка [a,b]), то f(x)ϵR[a,c] и f(x)ϵR[c,b] и имеет место формула = + .

Док-во: разобьем отрезок [a,b] следующим образом: a=x₀<x₁<x₂<…<x_k=c<x_k+1<…<x_n=b.

= = + + = + .

4) если f(x)ϵR[a,b], то f(x)ϵR[b,a] и имеет место формула = .

Док-во: разобьем отрезки [a,b] и [b,a] одними и теми же точками

a=x₀<x₁<x₂<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b. тогда для [a,b] Δx_i = x_i – x_i-1 и , где Ѯiϵ[x_i-1, x_i], (i=2,3,…,n); для [b,a] Δxi=xi_-1-x_i= –Δx_i , Ѯi выберем таким же, как и в I_n.

I_n’= ’ = = –I_n => I_n = –I_n’ |

= = -( = .

5) если f(x)ϵR[a,b], то = = , т.е. интеграл не зависит от выбора переменной интегрирования.

Док-во следует из геометрического смысла интеграла Римана, т.е. каждый из интегралов определяет площадь одной и той же криволинейной трапеции.

6) = b – a (интеграл равен длине отрезка интегрирования).

Док-во: пусть f(x)=1. I_n= = Δx₁+Δx₂+…+Δx_n = (x₁-x₀)+(x₂-x₁)+(x₃-x₂)+…+(x_n-x_n-1) = x_n--x₀=b-a.

= = = b–a.

65. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.

1) если f(x)ϵR[a,b] и f(x)≥0 для xϵ[a,b], то ≥0.

Док-во: ≥0, Δx_i=x_i-x_i-1>0.

= => ≥0.

Следствие: если f(x)≤0 для xϵ[a,b], то ≤0.

2) если f(x)ϵR[a,b], g(x)ϵR[a,b] и f(x)≤g(x) для xϵ[a,b], то ≤ .

Док-во: рассмотрим ф-ю g(x)–f(x).

(g(x)–f(x))ϵR[a,b] (по св-ву 1 предыдущего пункта).

g(x)–f(x)≥0 (по условию)

тогда ≥0 => = => = .

3) если f(x)ϵR[a,b] , то |f(x)|ϵR[a,b] и имеет место формула ≤ .

Док-во: = = ≤ ≤ = = .

Следовательно ≤ .

4) если f(x)ϵR[a,b] и m≤f(x)≤M для xϵ[a,b], то m(b–a)≤ ≤M(b–a).

Док-во: m≤f(x)≤M |*Δx_i>0, Ѯ_iϵ[x_i-1, x_i] (i=1, …, n)

mΔx_i ≤ f(Ѯ_i)Δx_i ≤ MΔx_i |

m ≤ ≤ M |

m* ≤ ≤ M*

m* ≤ ≤ M* => m(b–a)≤ ≤M(b–a).

S =

m(b–a), M(b–a) – площади

прямоугольников.

m(b–a)≤ Sтр ≤M(b–a).

С ледствие: существует т.Ѯϵ[a,b] такая, что =f(Ѯ)(b–a).

Sтр = Sпрямоуг = f(Ѯ)(b–a).

66. Основная теорема интегрального исчисления.

Если ф-я f(x)ϵR[a,b] и существует первообразная F(x) для ф-и f(x), то = F(b) – F(a).

Док-во: разобьем отрезок [a,b] на n частей точками a=x₀<x₁<x₂<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b и на каждом из элементарных участков для ф-и f(x) запишем ф-лу Лагранжа конечных приращений: ƎѮiϵ[x_i-1, x_i] F(x_i) – F(x_i-1)=F’(Ѯ_i)(x_i, x_i-1) = f(Ѯ_i)Δx_i.

F’(x)=f(x) для xϵ[a,b].

= .

В определении Ѯi – любые точки. Выберем их такими же, как и в формуле Лагранжа.

= = = = = = = = F(b) – F(a).

= F(x) |_a^b = F(b) – F(a). – формула Ньютона-Лейбница.

Замечание ф-лы Ньютона-Лейбница.

При вычислении опред. интеграла исходя из определения, пользуются след. свойствами:

1. если f(x) – четная на симметричном отрезке [-a;a], то .

2. Если f(x) – нечетная на симметричном отрезке [-a;a], то = 0

3. =0, =0

Интегралы тригонометрических ф-й по периоду равны 0.

67. Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема: пусть ф-я f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Положим x=ϕ(t), причем ф-я ϕ(t) удовлетв. след. условиям:

1. ϕ(t) определена и непрерывна на отрезке [α,β] и ее значения не выходят за пределы промежутка [a,b], т.е. a≤ϕ(t)≤b для tϵ[α,β].

2. ϕ(α)=a, ϕ(β)=b.

3. существует непрерывная производная ϕ’(t) для любых tϵ[a,b]. Тогда имеет место ф-ла замены переменной:

= .

Док-во: формула замены переменной для неопределенного интеграла имеет вид

Для интеграла Римана существует ф-ла Ньютона-Лейбница:

= F(x) |_a^b = F(b) – F(a)ю

Рассмотрим интеграл = F(ϕ(t))|_α^β = F(ϕ(β)) – F(ϕ(α)) = F(b) – F(a) = = . Ч.т.д.

68. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема: если ф-и u(x) и v(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b], т.е. u(x)ϵC’[a,b] и v(x)ϵC’[a,b], то имеет место ф-ла

= uv|_a^b - .

Док-во:

69. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах.

y = f(x), xϵ[a,b]

S =

S = - =

=

S=

x =a, x=b – абсциссы точек пересечения графиковy=f(x) и y=g(x) и отрезок [a,b] – проекция фигуры на ось Ox

S= - =

=

S=

y=c, y=в – ординаты точек пересечения графиков, а отрезок [c,d] – проекция плоской фигуры на ось Oy.

70. Площадь плоской фигуры в параметрическом виде.

Если кривая x=x(t), y=y(t) непрерывная и замкнутая при α≤t≤β, т.е. образует петлю. При возрастании параметра t, точка движется по кривой против часовой стрелки, а область, образуемая замкнутой кривой, остается слева, то S можно вычислить:

1. S =

2. S =

3. S =

Д ок-во: очевидно, что ф-ла (3) получена, если сложить ф-лы (1) и (2) и выразить S. Для вывода ф-лы (1) область проектируем на ось Ox:

S = = | замена y=y(t), x=x(t) | = –

– = – =

=– = .

Для вывода ф-лы (2) данную область проецируем на ось Oy:

S = = | замена y=y(t), x=x(t) | = - = = + = .

71. Площадь плоской фигуры в полярных координатах.

Пусть r=r(ϕ) – ур-е кривой в полярных координатах и пусть r(ϕ) непрерывна на [a,b].

Ф игура, ограниченная кривой r=r(ϕ) и двумя лучами ϕ=α и ϕ=β называется криволинейным сектором.

S криволинейного сектора вычисляется по формуле

S =

Док-во:

Разобьем отрезок [α,β] на n частей

α=ϕ₀< ϕ₁<…< ϕ_i-1< ϕ_i<…< ϕ_n=β и рассмотрим элементарный криволинейный сектор

Δ ϕ=ϕ_i – ϕ_i-1 (i=1,…,n)

Его площадь можно приближенно заменить

Площадью криволинейного сектора.

Для этого выберем любую точку (Ѯ_i)ϵ[ϕ_i-1, ϕ_i] и вычислим r(Ѯ_i).

S_{круг.сект.} = = .

ΔS_i≈ – площадь элементарного криволинейного сектора.

Тогда S≈

Чтобы это равенство было точное, перейдем к . получим

S = = ч.т.д.