26. Классификация точек разрыва.

Опред.1: точки, в которых ф-я y=f(x) не является непрерывной, назыв. точками разрыва. В точках разрыва нарушаются необх. и достат. усл-я непрер. ф-и f(x₀-0) = f(x₀+0) = f(x₀).

Опред.2: предельная точка x₀ из мн-ва Е назыв. точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы, не равные между собой.

Ǝf(x₀+0)= , Ǝf(x₀-0) = – конечные, но (x₀+0)≠(x₀-0).

Опред.3: точка x₀ϵE назыв. точкой устранимого разрыва, если в ней существуют конечные одностор-е пределы, равные между собой, но не равные значению ф-и в точке x₀, либо f(x₀) не определено.

Ǝf(x₀-0), f(x₀+0) – конечные, f(x₀-0) = f(x₀+0) ≠ f(x₀), либо f(x₀) не определено.

В последнем случае, когда f(x₀) не определено, можно положить значение ф-и равным значению одностор-х пределов и разрыв в точке x₀ устранить.

Опред.4: предельная точка x₀ϵE назыв. точкой разрыва второго рода, еслихотя бы один из одностор-х пределов равен ∞, либо не существует.

f(x₀-0)=∞, либо f(x₀+0)=∞, либо f(x₀-0) или f(x₀+0) не существует.

27. Непрерывность ф-и на множестве.

Опред.1: пусть на мн-ве Е задана ф-я f(x). f(x) назыв. непрерывной на мн-ве Е, если она непрерывна в каждой точке этого мн-ва

Опред.2: ф-я f(x) назыв непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Ф-я f(x) назыв. непрерывной на отрезке [a,b], если она на интервале (фби)б в точкен x=a непрер. справа, а в точке x=и непрер. слева.

Непрерывность элементарных ф-й.

Все элементарные ф-и непрерывны в своей обл-ти опред-я.

1. y=xⁿ (nϵZ), n>0 – непрер. при xϵR

n<0 – непрер. при x≠0

2. y= , (nϵN, n>1), n-четн. – непрер. при x≥0

n-нечетн. – непрер. при xϵR

3. y=a^x, (a>0, a≠1), y=e^x – непрер при xϵR

4. (a>0, a≠1), y=lnx – непрер. при x>0

5. y=sinx, y=cosx – непрер. при xϵR

6. y=tgx – непрер. при x≠ + (kϵZ)

7. y=ctgx – непрер. при x≠ (kϵZ)

8. y=arcsinx, y=arccosx – непрер. при xϵ[-1, 1]

9. y=arctgx, y=arcctgx – непрер. при xϵR

10. y=shx, y=chx, y=thx – непрер. при xϵR

11. Y=cthx – непрер. при x≠0

28. непрерывность сложной и обратной ф-й.

Теорема 1: о непрерывности сложной ф-и.

Пусть ф-я u=ф(x) непрер. в т. x₀ϵE, а ф-я y=f(u) непрер. в т. u₀ϵD, причем u₀=ф(x₀). Тогда сложная ф-я y=f(ф(x)) непрер. в т. x₀ϵE.

Док-во: воспользуемся опред-ем непрер-ти по Гейне. Пусть u=ф(x) непрер. в т. x₀ϵE, т.е. =ф(x₀)  ( {x_n}ϵE, x_n→x₀):ф(x_n)→ф(x₀) (1)

y=f(u) – непрер. в т. u₀ϵD, т.е. =f(u₀)  ( {u_n}ϵD, u_n→u₀):f(u_n)→f(u₀) (f(ф(x_n))→ f(ф(x_n))) (2)

т.к. u=ф(x), то u_n=ф(x_n), u₀=ф(x₀). Объединим опред-я 1 и 2: ( {x_n}ϵE, x_n→x₀): f(ф(x_n))→ f(ф(x_n)) => =f(ф(x₀)), т.е. f(ф(x)) – непрер. при x=x₀ϵE

Теорема 2: о непрерывности обратной ф-и.

y=f(x), xϵE, yϵY. x=ф(у)=f^-1(y)

пусть ф-я y=f(x) определена монотонно возрастает(или монот. убыв.) на мн-ве Е. Тогда на мн-ве Y существует обратная ф-я x=f^-1(y), монотонно возрастающая( монот. убыв-я) на мн-ве Y.

Без док-ва.

29. 1-я теорема Коши.

Пусть ф-я y=f(x) определена и непрер. на замкнутом промежутке [a,b] и на концах этого пром-ка принимает знач-я разных знаков. Тогда между a и b найдется точка c такая, что f(c)=0. Теорема без док-ва.

2-я теорема Коши.

Пусть ф-я y=f(x) определена и непрер. на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения. f(a)=A, f(b)=B и A<B. Тогда для С: A<C<B Ǝсϵ(a,b) такое, что f(c)=С.

Док-во: введем вспомогательную ф-ю ф(x)=f(x)-C – опред. и непрер. на [a,b].

ф(a)=f(a)-C=A-C<0 на концах отрезка принимает знач-я разных знаков

ф(b)=f(b)-C=B-C>0

тогда по 1-й теореме Коши: Ǝcϵ(a,b), такая, что ф(c)=0 =>f(c)-C=0 => f(c)=C ч.т.д.

30. 1-я теорема Вейерштрасса.

Если ф-я f(x) опред. и непрер. на [a,b], то она ограничена на этом мн-ве.

Теорема без док-ва.

2-я теорема Вейерштрасса.

если f(x) опред. и непрер. на [a,b], то она достигает на этом мн-ве своих точных верхней и нижней граней.

Теорема без док-ва.

31. Определение предела.

Рассмотрим y=f(x) на (a,b). Пусть x₀ϵ(a,b) – внутренняя точка.

Δx = x – x₀ – приращение независимой перем-й(аргум-та).

Δf(x₀) = f(x) – f(x₀) – приращение ф-и f(x) в точке x₀при изменении аргум-та от x₀ до x.

Составим отношение приращения ф-и к приращению аргум-та: .

Опред.: если сущ. Предел отношения приращ. Ф-и Δf(x) к вызвавшему его приращ. аргум-та Δx при стремлении Δx к 0, то он назыв. производной ф-и f(x) в точке x₀ и обознач.:

1. , (по Лейбницу)

2. f’(x₀), y’ (по Логранжу)

3. Df(x₀), Dy (по Коши)

= = f’(x₀)

Г еометрический смысл производной.

Рассмотрим y=f(x) и на графике этой ф-и выберем

т. А (x₀,f(x₀)). Дадим приращение Δх.

Соединим т. А и В прямой, которая назыв. секущей.

Угол, который образует секущая с положит. напр. оси х

Обозначим за α. Из прямоуг. ΔABC:tgα= = = f’(x₀).

Устремим к 0. Тогда т.В →А и секущая займет свое положение (положение касательной) и угол между касательной и положит. напр. оси х.

tgγ= = =f’(x₀). => tgγ = f’(x₀) = k, где k – углов. коэф. касат.

f(x)-f(x₀) = f’(x₀)(x-x₀) – ур-е касат. к графику y=f(x) в т. (x₀, f(x_.)).

k*k₁ = -1 => k₁ = – усл-е перпендик. прямых.

f(x) – f(x₀) = - – ур-е нормали к графику y=f(x) в т. (x₀, f(x_.)).

Физический смысл производной.

Пусть S(t₀) – путь, пройденный точкой за время t₀. Тогда S(t₀+Δt) – путь, пройденный за время (t₀+Δt). ΔS(t₀)=S(t₀+Δt)=S(t₀) – приращение пути за Δt.

Ѵ_ср =

Ѵ(t₀) = = = S’(t₀)

S’(t₀) = Ѵ(t₀).

С физической точки зрения производная пути – это скорость данной точки.

32. Опред.: если сущ. = = f₊’(x₀), то его назыв. правосторонней производной ф-и f(x) в т.x₀. Аналогично = = f_--’(x₀) назыв. левостор. произ-й. Правую и левую произ-е назыв. одностор-ми производными.

Теорема: для того, чтобы ф-я y=f(x) имела в т. x₀ производную f’(x₀) необх. и достат., чтобы существовали односторонние производные и они были равны между собой.

Док-во следует из теор. Об односторонних пределах.

Замеч.1: если ф-и имеют угловые точки (ф-и, содержащие знак модуля), то в этих точках производная не существует.

Замеч.2: если = ∞, то такую производную назыв. бесконечной производной.

Замеч.3: если ф-я в точке x₀ имеет производную, то она дифференцируема в точке x₀.

33. Правила вычисления производных.

1) вычисление суммы ф-й.

Если f(x) и g(x) дифференцируемы в т. x₀ϵ(a,b), то (f(x)±g(x)) = f’(x) ± g’(x)

2) вычисление произведения ф-й

Если f(x) и g(x) дифференцир. в т. x₀ϵ(a,b), то (f(x)*g(x)) (при x=x₀)= f’(x₀)*g(x₀) + f(x₀)*g’(x₀)

3) вычисление частного ф-й.

Если f(x) и g(x) дифференцир. в т. x₀ϵ(a,b), то ’ (при x=x₀) = , (g(x)≠0 xϵ(a,b))

Док-во: рассмотрим ϕ(х)= и найдем ϕ’(x₀).

ϕ'(x₀)= = = = = = = = =

34. Производная сложной ф-и.

Пусть ф-я y=f(x) и u=u(x) такие, что можно образовать сложн. ф-ю y=f(u(x)).

Если ф-я u=u(x) дифференцируема в точке x₀ϵ(a,b), а ф-я y=f(u) диффер. в т. u₀ϵ(c,d), причем u_u=u(x). Тогда сложная ф-я y=f(u(x)) диффер. в т.x₀ϵ(a,b) и имеет место ф-ла (f(u(x)))’ (при x=x₀) = f_u’(u₀)*u_x’(x₀).

Док-во: g(x)=f(u(x)).

g’(x₀) = = = = = f_u’(u₀)*u_x’(x₀).

35. Производная обратной ф-и.

Пусть на (a,b) задана ф-я y=f(x), удовлетворяющая след. усл-ям:

1. f(x) монотонна в строгом смысле и непрерывна на (a,b)

2. дифференцируема на (a,b), причем точке x₀ϵ(a,b) f_x’(x₀)≠0.

Тогда существует обратная ф-я x=f^-1(y)=g(y), дифференцируемая в т. y₀=f(x₀) и ее производная вычисляется по формуле x’(y₀) = .

Док-во: в силу усл-я 1 по теор. о непрер. обратн. ф-иб существует обратная ф-я x=g(y), которая определена монотонно и непрерывна при любом yϵ(c,d). Вычислим ее производную в т. y₀. x'(y₀) = g’(y₀) = = = = = .

36. Производная ф-и, заданной параметрически.

Пусть ф-я y=f(x) задана параметрически. x=x(t), y=y(t) tϵ(a,b). Если ф-и x(t) и y(t) дифференцируемы в т. t₀ϵ(a,b) и x’(t)≠0, то параметрически заданная ф-я y=f(x) имеет в т. x₀=x(t₀) производную, которая вычисляется по формуле: y_x’(x₀) = .

Док-во: т.к. x’(t₀)≠0, то из первого ур-я системы x=x(t), y=y(t), можно выразить обратную ф-ю, производная которой равна t’(x₀) = . Обратную ф-ю t=t(x) подставим во второе ур-е системы и получим сложную ф-ю, зависящую от x^: y=y(t(x)). Ее производная равна y_x’(x₀) = =y_t’(t₀)*t_x’(x₀) = . => y_x’(x₀) = .

Замечание: для параметрически заданной ф-и y=f(x), ее производная по х задается также в параметрическом виде: y’=f’(x): x=x(t), y_x’ = .

37. Производная неявно заданной ф-и.

Пусть ф-я y=f(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. Допустим, что это ур-е разрешается относит. ф-и y=f(x). Тогда дифференцируя тождество F(x, y(x))=0 как сложную ф-ю по x, можно вычислить y’.

F(x, y(x))=0 | => F_x’+F_y’*y_x’=0 => y_x’ = .

38. Определение дифференцируемой ф-и в точке.

Опред.: ф-я y=f(x) назыв. дифференцируемой в т. x₀ϵ(a,b), если ее приращение в этой точке представимо в виде Δf(x₀) = f(x₀+Δx)-f(x₀) = AΔx+α(Δx)* Δx, где A-const, а α(Δx) – б.м. при Δx→0, т.е. α(Δx) →0 при Δx→0.

Необход. и достат. усл-я.

Для того, чтобы ф-я y=f(x) была диффер. в т. x₀ϵ(a,b), необх. и достат., чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: 1) необходимость: пусть f(x) диффер. в т. x₀. Покажем, что Ǝf’(x₀) – конечная.

Δf(x₀) = AΔx+α(Δx)*Δx |:Δx≠0

= A+ α(Δx) | => = A = f’(x₀).

2) достаточность: пусть сущ. f’(x₀) – конечная. Покажем, что f(x) диффер. в т. x₀.

Обозначим f’(x₀)=А. тогда по опред. производной = A. Из определения предела следует, что | – A|<ε для любого сколь угодно малого ε>0, т.е. – A – б.м. при Δx→0. Обозначим – A = α(Δx), где α(Δx)→0 при Δx→0 |*Δx

Δf(x₀) = A* Δx + α(Δx)* Δx, т.е. f(x) диффер. в т.x₀.

Следствие: при док-ве теор. было получено, что A=f’(x₀). Тогда опред. диффер. ф-и можно записать в виде Δf(x₀)=f’(x₀) Δx+α(Δx) Δx, где α(Δx)→0 при Δx→0

39. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью ф-и.

Пусть ф-я y=f(x) диффер. в т. x₀ϵ(a,b). Тогда она непрер. в этой точке.

Док-во: т.к. f(x) диффер. в т. x₀, то ее приращение в этой точке можно записать в виде

f(x)-f(x₀)=A*(x-x₀)+α(x- x₀)*(x- x₀) |

= = 0 => = f(x₀), т.е. f(x) непрер.

Замечание: обратное утверждение вообще говоря неверно. Сущ-ют ф-и, непрер. в т. x₀, но не диффер. в этой точке.

40. Определение дифференциала ф-и.

Пусть y=f(x) диффер. в т. x₀ϵ(a,b). Тогда ее приращение

в этой точке представимо в виде

Δf(x₀)=f’(x₀) Δx + α(Δx) Δx ,где α(Δx)→0 при Δx→0.

Опред.: главная линейная часть приращения ф-и назыв.

дифференциалом и обознач. dy или d(x₀).

df(x₀)=f’(x₀)*Δx – дифференциал.

Геометрический смысл дифференциала.

Геом. Смысл диффер-ла состоит в следующем: df(x₀) = приращению ординаты касательной в т.А(x₀, f(x₀)) при переходе от точки x₀ к точке x₀₊ Δx.

Правила вычисления дифференциала.

1. d(Cu) = C*du

Док-во: d(Cu) = (Cu)’ *dx = (C’u + Cu’)dx = Cu’dx = Cdu

2. d(u±v) = du ± dv

Док-во: d(u±v) = (u±v)’dx = (u’ ± v’)dx = u’dx ± v’dx = du ± dv

3. d(uv) = vdu + udv

Док-во: d(uv) = (uv)’dx = (u’v + uv’)dx = vu’dx + uv’dx = vdu + udv

4. d( ) =

Док-во: d( ) = ( )’dx = ( )dx = = .

41. Инвариантность формы первого дифференциала.

Все записи диффер. ф-и y=f(x) не зависят от того, явл. ли x независ. перем., или ф-ей новой независ. перем.

Док-во: 1) x – независ. перем.: dy=f’(x)dx

2) x – завис. перем.: пусть x=x(f).

Тогда получим сложн. ф-ю y=f(x(t))=ϕ(t), где t-независ. перем.

dy = ϕ_t’dt = f_x’*x_t’dt = f_x’*dx (dx-дифференциал ф-и x(t)).

42. Производные и дифференциалы высших порядков.

пусть y=f(x) опред. на (a,b) и в каждой точке этого интервала имеет производную. Тогда y’=f’(x) явл. ф-ей на (a,b) и относит. этой ф-и можно поставить вопрос о существовании производной.

Опред.1: если Ǝ , то lim назыв. второй производной от ф-и f(x) и обознач. f’’(x)= . Аналогично можно определить f’’’, f^{iv и} т.д.

Опред.2: производная n-го порядка при n≥1 опред. с помощью соотношения y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’, y⁽⁰⁾=y(x).

Аналогично опред. диффер. n-го порядка

dⁿy=d(d^n-1y), d⁰y=y(x).

Правила повторного дифференцирования.

Пусть u=u(x)’ – n-раз дифференцированная ф-я

1. (Сu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾, C-const

dⁿ(Cu) = Cdⁿг

2. (u±v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾

dⁿ(u±v) = dⁿu ± dⁿv

3)(uv)’ = u’v + uv’

(uv)’’ = (u’v + uv’)’ = u’’v + u’v’ +u’v’ + uv’’ = u’’v + 2u’v’ + uv’’

(uv)’’’ = (u’’v + 2u’v’ + uv’’)’ = u’’’v + u’’v’ + 2u’’v’ + 2u’v’’ + u’v’’ + uv’’’ = u’’’v + 3u’’v’ + 3u’v’’ + uv’’’

(uv)^iv = u^ivv + 4u’’’v’ + 6u’’v’’ + 4u’v’’’ + uv^iv

(uv)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + C_n¹*u^(n-1)v’ + C_n²*u^(n-2)v’’ + … + C_n^k*u^(n-k)v^(k) + … + C_n^n-1*u’v^(n-1) + uv⁽ⁿ⁾ = ∑ⁿ_k=0C_n^k* *u^(n-k)v^(k), C_n^k = .

Аналогично dⁿ(uv) = ∑ⁿ_k=0C_n^k*d^n-ku*d^kv.

43. (uv)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + C_n¹*u^(n-1)v’ + C_n²*u^(n-2)v’’ + … + C_n^k*u^(n-k)v^(k) + … + C_n^n-1*u’v^(n-1) + uv⁽ⁿ⁾ = ∑ⁿ_k=0C_n^k* *u^(n-k)v^(k), C_n^k = .

Аналогично dⁿ(uv) = ∑ⁿ_k=0C_n^k*d^n-ku*d^kv.

Нарушение инвариантности формы высших дифференциалов.

y=f(x). 1) x – независ. перем. dx=Δx, d(dx)=d(Δx)=0

dy=f’(x)dx

d²y=d(f’(x)dx)=d(f’(x)dx + f’(x)d(dx)) = f’’(x)dx*dx = f’’(x)dx²

d³y=d(f’’(x)dx²) = d(f’’(x)dx² + f’’(x)d(dx²)) = f’’’(x)dx*dx² = f’’’(x)dx³

dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ, (n≥1)

2) x завис. перем. Пусть x=x(t), dx=x_t’dt

dy=f’(x)dx

d²y=d(f’(x)dx) = d(f’(x)dx + f’(x)d(dx)) = f’’(x)dx*dx + f’(x)d²x = f’’(x)dx² + f’(x)d²x

d³y=d(f’’(x)dx² + f’(x)d²x) = d(f’’(x))dx² + f’’(x)d(dx²) + d(f’(x))d²x + f’(x)d(d²x) = f’’’(x)dx*dx² + f’’(x)(d²x*dx + dx*d²x) + f’’(x)dx*d²x + f’(x)d³x = f’’’(x)dx³ + 3f’’(x)dx*d²x + f’(x)d³x.

Форма n-го дифференциала при n≥2 различна для случаев, когда x – независ. и x – завис. перем. В этом случае говорят об не инвариантности формы высших диффер-лов.

44. Формула Тейлора для многочлена.

Пусть дан многочлен P_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + … + a_nxⁿ. преобразуем этот многочлен относительно (x-x₀), где x₀ – произвольное число, т.е. представим многочлен в виде P_n(x) = A₀ + A₁(x-x₀) + A₂ (x-x₀)² + A₃(x-x₀)³ + … + A_n(x-x₀)ⁿ (1)

Продифференцируем (1) n раз. Получим:

P_n’(x) = A₁ + 2A₂(x-x₀) + 3A₃(x-x₀)² + … + nA_n(x-x₀)^n-1

P_n’’(x) = 2A₂ + 3*2A₃(x-x₀) + … + n(n-1)A_n(x-x₀)^n-2

P_n’’’(x) = 3*2A₃ + … + n(n-1)(n-2)A_n(x-x₀)^n-3

P_n⁽ⁿ⁾ = n(n-1)(n-2)*…* 2 * 1* A_n.

Подставим в эти выражения x₀.

P_n(x₀) = A₀ A₀ = P_n(x₀)

P_n’ (x₀) = A₁ A₁ =

P_n’’(x₀) = 2! * A₂ A₂ =

P_n’’’(x₀) = 3! * A₃ A₃ =

P_n⁽ⁿ⁾(x₀) = n! * An A_n = .

Подставим найденные выражения в ур-е (1).

P_n(x) = P_n(x₀) + (x-x₀) + (x-x₀)² + (x-x₀)³ + … + (x-x₀)ⁿ .

Получили ф-лу Тейлора для многочлена.