13. Электрическая емкость

Рассмотрим некоторое уединенное проводящее тело. Если сообщить ему заряд q₁, то тело относительно бесконечно удаленной точки приобретет потенциал ₁. При сообщении этому телу другого заряда q₂ потенциал будет ₂, для заряда q₃ это будет ₃ и т.д. Интересно отметить, что при этом отношение заряда, сооб­щен­ного телу, к величине возникающего при этом на теле потенциала будет величиной посто­ян­ной и не будет зависеть от величины заряда, переданного телу. Для другого те­ла это отношение будет тоже величиной постоянной, но сама величина отношения будет уже иной. Таким образом, появляется возможность ввести еще одну харак­те­ристику проводящего тела. Эту характеристику назвали электрическая емкость. Если обозначить электроемкость как С, то по сказанному выше

, (30) где q – сообщенный телу заряд, а  – возникающий при этом потенциал этого те­ла. В системе СИ за единицу электроемкости (часто говорят емкости тела) прини­мают емкость, которой обладает уединенное проводящее тело, которое при сооб­ще­нии ему заряда в 1 Кл, приобретает потенциал в 1 В. Такую единицу электроем­кости называют фарад (Ф). Фарад очень большая емкость (скоро мы в этом убе­дим­ся), поэтому на практике в электро- и радиотехнике часто пользуются более мелкими единицами электроемкости пикофарад (пкФ) и микрофарад (мкФ).

1 Ф = 10⁶мкФ = 10¹²пкФ.

Подсчитаем электрическую емкость уединенной проводящей сферы. Ее потенциал относительно бесконечно удаленной точки равен

, R – радиус сферической поверхности. Подставив  в (30), получаем

. (31) Таким образом, емкость уединенного тела прямо пропорциональна его размерам (в нашем случае радиусу). Для оценки величины единицы емкости попробуем оценить емкость Земного шара. Его радиус . Подставим этот радиус в (31)

С = 43,148,8510^-12Ф/м6,410⁶ м = 7,1110^-4Ф = 711 мкФ. Таким образом, фарад действительно большая единица, если такой емкостью обладает шар, радиус которого в 1/0,000711 = 1406 раз больше радиуса Земли.

Как мы только что увидели, уединенные проводники обладают малой емкостью. Однако емкость уединенного тела можно значительно увеличить, если поднести к нему другое тело или тела. Поскольку на практике нужны устройства с большой электроемкостью, это обстоятельство стали использовать для создания таких устройств. В основе описанного возрастания емкости тел при приближении к ним других тел лежит следующее. При сближении тел заряды, противоположные по знаку заряду рассматриваемого проводника, располагаются ближе к проводнику, чем одноименные, и оказывают большое влияние на его потенциал. Потенциал проводника уменьшается, а емкость, как видно из (30), растет.

Систему двух (или более) проводящих тел, емкость которых уже не зависит от других окружающих тел, принято называть конденсатором. Сами эти тела на­зы­вают обкладками конденсатора. Силовые линии, исходящие из одной обкладки заканчиваются на другой (других). В зависимости от геометрии обкладок различа­ют 3 вида конденсаторов. С плоским конденсатором мы уже сталкивались. Обклад­ки плоского конденсатора представляют собой две параллельные пласти­ны, расстояние между которыми мало по сравнению с их размерами. Простым конден­сатором является также сферический конденсатор, обкладки которого две кон­цент­рические сферы. Трубчатый или цилиндрический конденсатор имеет обкладки в форме коаксиальных цилиндров. Для любой формы конденсаторов можно легко экспериментально установить, что с ростом площади обкладок и с уменьшением расстояния между ними емкость конденсатора возрастает.

Попробуем теперь вычислить емкость самого простого плоского кон­денсатора. Разность потенциалов между его обкладками дается формулой (24), а заряд на обкладках площадью S находится легко . Подставив значения заряда и разности потенциалов в (30), получаем (32)

В формуле (32) d – расстояние между обкладками. Емкость конденсатора легко увеличить, не меняя его геометрию, а заполнив пространство между обкладками диэлектриком. От этого емкость конденсатора возрастает в  раз. Величину  назы­вают относительной диэлектрической проницаемостью диэлектрика. К этому понятию мы вернемся, рассматривая электрические поля, создаваемые зарядами внутри диэлектрика. Итак, для плоского конденсатора, заполненного диэлектри­ком, получаем

(33) Анализируя выражение (33) нетрудно увидеть, что, как и следует из экспери­мента, емкость можно увеличить, увеличивая S и уменьшая d.

Хотя промышленность выпускает множество самых разных конденсаторов, отличающихся формой обкладок, видом диэлектрика, емкостью, но часто на прак­тике приходится сталкиваться с необходимостью использовать конденсатор с но­ми­налом, которого нет в наличии. В этих случаях можно с целью подбора нуж­ной емкости составить батарею из конденсаторов, имеющихся в наличии. Проще всего рассчитывать емкости таких батарей, если конденсаторы в них включены последо­вательно или параллельно. Посмотрим, как это можно сделать. Начнем с последова­тель­ного включения. Оно изображено на рис. 11.

C₁ C₂

-q₁ q₁ -q₂ q₂

-q

q

Рис. 11

Два конденсатора С₁ и С₂, состав­ляющие эту батарею, включены последовательно. Наша задача найти емкость С, которой можно заменить эту батарею конденсаторов. Создав разность потенциа­лов между обкладками конденсаторов, входящих в батарею, мы заряжаем их. До­пустим, заряд левой обкладки конденсатора С₁ является отрицательным (его мо­дуль обозначим q₁), а заряд правой обкладки конденсатора С₂ является положит­ельным (обозначим q₂). На внутренних обкладках конденсатора при этом происхо­дит смещение зарядов. Внутренняя обкладка конденсатора С₁ приобретает заряд q₁, а конденсатора С₂ – заряд q₂. До зарядки конденсаторов суммарный заряд на внутренних обкладках был равен нулю и т.к. через идеальный конденсатор заряд пройти не может, он таким и остается. Поэтому +q₁- q₂=0 и q₁= q₂, т.е. заряды на последовательно включенных конденсаторах одинаковы. Можно утвер­ждать, что заряд, подошедший при зарядке к конденсатору С q= q₁= q₂, т.к. этот конденсатор заменяет последовательно включенные конденсаторы. Итак, для трех рассматри­ва­емых нами конденсаторов можно написать Найдя из этих равенств , , и подставив в

(34) получаем

, (35) откуда

. (36) При последовательном включении нескольких конденсаторов равенство (35) переходит в

(37)

Теперь остановимся на параллельном включении конденсаторов. Такая батарея приведена на рис. 12.

C₁

Рис. 12

В этом случае заряд, подходящий к обкладкам конденсатора С равен сумме зарядов, подходящих к обкладкам конденсато­ров С₁ и С₂

(38) Разности же потенциалов между обкладками всех конденсаторов одинаковы и равны U. Найдя из заряды и подставив их в (38) получаем

(39) При параллельном включении большого числа конденсаторов получаем

(40)