10. Потенциалы некоторых систем зарядов

Попробуем, пользуясь взаимосвязью потенциала с напряженностью поля и зная (19) закон изменения напряженности поля, найти потенциал поля плоского конденсатора.

Б

+

Х

х

удем искать потенциал поля плоского конденсатора относительно от­ри­цательно заряженной обкладки в произвольной плоскости, отстоящей на расстоянии x от этой обкладки (рис. 9). Введем ось X и направим ее вверх от отрицательно заряженной обкладки.

d

A

B

Рис. 9

-

Е

Напряженность поля направлена от по­ло­жи­тельно заряженной обкладки к отри­цательно заряженной и величина Е равна . Проекция Е на ось Х равна .

По (19) запи­шем для _х

. (23) Разность потенциалов между обкладками равна

, (24) где d – расстояние между обкладками.

11. Энергия системы зарядов

Нам необходимо научиться вычислять энергию взаимодействия систе­мы зарядов. Понятие о потенциале облегчит решение этой задачи. Для нача­ла рассмотрим два одноименных точечных заряда, находящихся на рассто­я­нии r друг от друга. Если один заряд закрепить, а другому предоста­вить воз­можность двигаться, то за счет электростатического отталкивания он уда­лит­ся бесконечно далеко от первого заряда. При этом силы электрического по­­ля совершат над зарядами работу, которая равна энергии взаимодействия зарядов, когда они находятся на расстоянии r друг от друга. Эту энергию принято называть потенциальной энергией взаимодействия

.

Работу по переносу заряда нетрудно подсчитать

, где – потенциал, создаваемый зарядом q₂ в месте нахождения заряда q₁ (этот потенциал подсчитан относительно бесконечно удаленной точки и в ней об­ра­щается в нуль).

Итак,

. (25) Перепишем равенство (25) в виде

(26) Здесь теперь ₂ – потенциал, создаваемый зарядом q₁ в месте нахождения за­ря­да q₂. Выражение (26) легко обобщить на систему, состоящую из n зарядов, расположенных на определенном расстоянии друг от друга. Эта энергия вы­ра­зится через сумму работ, необходимых для переноса каждого заряда q_i из бесконечности в то место, где он должен быть расположен. При этом получа­ется выражение

, (27) где _i – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме i -го в месте, где на­хо­дится i -ый заряд.

12. Проводники в электрическом поле

При внесении проводника в электрическое поле носители заряда в нем приходят в движение под действием сил электрического поля. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, их назы­ва­ют индуцированными зарядами (см. раздел 1.1.). Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю. Перераспределение зарядов продол­жа­ется до тех пор, пока напряженность внутри проводника не станет равной нулю. Таким образом, всюду внутри проводника

Е = 0 (28) В соответствии с (19) это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянен ( ) и равен потенциалу на его поверхности. В свою очередь, постоянство потенциала на поверхности проводника означает, что его поверхность является эквипотенциальной и силовые линии электри­чес­ко­го поля перпендикулярны к этой поверхности в каждой ее точке. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее также обращается в нуль. На этом основана электростатическая защита. Если какой-то объект хотят защитить от воздействия внешних электростатических полей, его окружают проводящим экраном. Внутри экрана внешнее поле компенсируется полем индуцированных зарядов, возникающих на его поверхности. Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Рассмотрим замкнутую поверхность внутри проводника. Поле внутри проводника отсутствует, поток вектора Е через эту поверхность равен нулю и согласно теореме Гаусса алгебраическая сумма зарядов внутри по­­верхности тоже будет равна нулю. Таким образом, в любом месте внутри объема проводника отсутствуют избыточные заряды. Все они расположатся по поверхности проводника с некоторой плотностью .

Рассмотрим поверхность цилиндра, образующая которого нормальна к поверхности проводника, а основания, площадь которых dS расположены одно снаружи проводника, а одно внутри (рис. 10).

Рис. 10

Поток вектора Е через эту поверхность пред­ставляет собой поток через боковую поверхность (он равен нулю, т.к. нормаль к боковой по­верхности перпендикулярна к Е), поток через внутреннее основание (он равен нулю, т.к. внутри проводника поле отсутствует) и потока через внеш­нее основание (этот поток отличается от нуля). Т.к. вблизи провод­ника Е перпендикулярен поверхности, то поток через внешнее основа-

ние (он равен потоку через всю поверхность цилиндра) равен EdS и теорему Гаусса для этой поверхности можно записать

, откуда

(29) Формула (29) показывает, что напряженность поля вблизи проводящей по­верх­ности вне проводника определяется поверхностной плотностью заряда на нем. Заряды же эти распределяются по поверхности неравномерно. Наи­боль­шая их плотность имеет место вблизи заострений. У таких мест по (29) велика и Е. Это приводит к интересному явлению «стекания» заряда с метал­ли­ческих острий. В больших полях воздух вблизи острий ионизируется. Ионы с тем же знаком заряда, что и у острия, движутся от острия, ионы с противоположным знаком движутся к острию и уменьшают его заряд. Дви­жущиеся от острия ионы увлекают нейтральные молекулы воздуха, отчего возникает электрический ветер. Его можно обнаружить по отклонению пламени свечи, поднесенной к острию.