ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Ватолкин_full

Минобрнауки России

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Ижевский государственный технический университет имени М. Т. Калашникова»

Кафедра «Прикладная математика и информатика»

М. Ю. Ватолкин

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Учебно-методическое пособие для студентов среднего профессионального образования

Издательство ИжГТУ имени М. Т. Калашникова Ижевск 2019

УДК 510.63(075.8) В21

Рецензент А. А. Айзикович, кандидат физико-математических наук, доцент

ИжГТУ имени М. Т. Калашникова

Ватолкин, М. Ю.

В21 Типовой расчет по минимизации булевых функций : учеб.-метод. пособие для студ. ср. проф. обр. / М. Ю. Ватолкин. – Ижевск : Изд-во ИжГТУ имени М. Т. Калашникова, 2019. – 52 с.

В настоящем учебно-методическом пособии по дисциплине «Дискретная математика» приведены условия задач типового расчета по одной из важных и сложных тем булевой алгебры, имеющей многочисленные практические применения, – минимизации функций алгебры логики.

Кроме того, пособие содержит подробные образцы решения всех предлагаемых типов задач, чтобы студент мог самостоятельно овладеть техникой решения каждой задачи типового расчета и после этого решить все задачи своего варианта. При этом предполагается, что студент самостоятельно проработал соответствующие темы лекционных занятий.

Задачи типового расчета представлены в 24 вариантах.

Предназначено для студентов среднего профессионального образования специальности 09.02.05 «Прикладная информатика (по отраслям)», обучающихся на кафедре «Прикладная математика и информатика», а также может быть полезно для студентов любых инженерно-технических специальностей, которые интересуются дискретной математикой.

УДК 510.63(075.8)

©Ватолкин М. Ю., 2019

©ИжГТУ имени М. Т. Калашникова, 2019

©Оформление. Издательство ИжГТУ имени М. Т. Калашникова, 2019

Предисловие

Алгебра логики изучается в дисциплине «Дискретная математика». В этом разделе возникает задача минимизации формул, описывающих функцию алгебры логики, которую называют задачей минимизации булевых функций.

В настоящее время наибольшее распространение получил «классический» базис Буля, состоящий из отрицания, конъюнкции и дизъюнкции {-, & , }.

Появление новых технологий в создании и расширении элементной базы цифровых автоматов (дискретных преобразователей) вызывает интерес к рассмотрению методов минимизации и в других базисах, в частности, в базисе Вебба (Пирса).

Поэтому в предлагаемом учебно-методическом пособии приведены задания на наиболее простые и распространённые методы минимизации как в булевом базисе, так и в «неклассическом» базисе Вебба.

Построенный по принципу самоучителя сборник типовых расчётов содержит тексты задач и демонстрирует методы их решения. Материал сборника даёт возможность студентам научиться самостоятельно решать задачи по разделу «Минимизация булевых функций» курса «Дискретная математика».

Задачи, содержащиеся в пособии, должны быть использованы для организации домашней самостоятельной работы студентов.

Рекомендуемая учебная литература представляет информационную и учебно-методическую базу, необходимую для решения задач по дискретной математике, в частности, по минимизации функций алгебры логики, а также она полезна для углубления и расширения ранее приобретённых знаний и навыков в области дискретной математики в целом.

4

Введение1

Функции алгебры логики (ФАЛ) называются также булевыми (логическими) функциями, двоичными функциями или переключательными функциями [1, см. дополнительную литературу].

Любая булева функция может быть записана в одной из стандартных форм

– СДНФ, СПНФ или СКНФ:

СДНФ – совершенная дизъюнктивная нормальная форма; СКНФ – совершенная конъюнктивная нормальная форма; СПНФ – совершенная полиномиальная нормальная форма. Однако такая запись ФАЛ подчас не экономна.

Задача простейшего представления булевых функций сводится к выбору базиса и наиболее экономному представлению функции в этом базисе [12, см. дополнительную литературу].

Последнее и есть задача минимизации булевых функций, что разумеется, не совсем точно, поскольку речь идет не о минимизации функции (остающейся в процессе минимизации неизменной), а о минимизации представляющих ее формул (в данном случае – дизъюнктивных нормальных формДНФ).

В настоящее время наибольшее распространение получил базис, состоящий из отрицания, конъюнкции и дизъюнкции {-, & , }. Образующие его функции наиболее просты с точки зрения математических преобразований и технической реализации.

Минимизация булевых функций проводится обычно в классе ДНФ, так называемая каноническая задача минимизации, но возможна и в других базисах. Алгоритм минимизации в классе ДНФ использует два закона:

1) закон склеивания xy xy y (или xA xA A, где A - произвольная булева функция, x - отдельный знак);

2) закон поглощения xy x x (или xA x x , где A - любая булева функция, x - отдельный знак).

Представление булевой функции, заданной в классе ДНФ, называется минимальной дизъюнктивной нормальной формой (МДНФ), если количество букв, которое она содержит, будет не больше, чем в любой другой её нормальной форме.

1 Использованы материалы учебно-методического пособия [9, см. дополнит. литературу]

5

Некоторые функции могут иметь несколько минимальных форм. Все методы минимизации в классе ДНФ основываются на понятии простой импликанты. Введем некоторые необходимые понятия.

Рассмотрим функцию f (x, y) x y xy xy . Каждое из слагаемых соответствует только одной единице в таблице истинности данной функции. Говорят, что каждое слагаемое покрывает единицу функции, а в совокупности они покрывают данную функцию, т.е. являются её покрытием. Но заметим, что упростив функцию f (x, y) x y , получим более простое покрытие. Оба представления соответствуют одной и той же таблице истинности функции, т.е. обращаются в 1 и 0 на одних и тех же наборах переменных x, y (см. табл.1). Если обратиться к отдельным слагаемым 2-го представления, нетрудно заметить, что x обращается в единицу на двух наборах (1, 0), (1, 1), а y - на (0, 0), (1, 0), совместно они покрывают единицами все единицы дан-

все нули функции f , т.е. имеет не меньшее количество нулей. Функция , являющаяся элементарным произведением некоторых своих аргументов или их отрицаний и входящая в функцию f , называется импликантой.

Среди импликант данной функции f выделяют так называемые простые импликанты, т.е. такие, которые сами входят в f , а никакая собственная часть их (элементарное произведение, полученное из данной импликанты исключением из неё одного или нескольких сомножителей) в функцию f не входит. Например: xyz, yz f , но y, z f , тогда yz – простая импликанта

6

(знак означает вхождение в f , означает, что условия вхождения не выполняются).

Простые импликанты представляют собою самые короткие произведения, входящие в данную функцию. Если какое-либо элементарное произведение входит в данную функцию, то при добавлении к нему любых сомножителей новое произведение также будет входить в эту функцию, т.к. оно обращается в нуль вместе с исходным произведением.

Любая булева функция равна дизъюнкции всех своих простых импликант. Это представление функции называется сокращенной дизъюнктивной нормальной формой. Сокращенная форма характеризуется тем, что ее члены самые короткие, из них уже нельзя исключать ни одной буквы, но можно выбросить некоторые импликанты.

Если из сокращенной формы исключить все возможные импликанты, то получится тупиковая дизъюнктивная нормальная форма. Тупиковых форм у булевой функции может быть несколько.

Тупиковая форма, содержащая наименьшее число импликант, называется

кратчайшей дизъюнктивной нормальной формой. Кратчайшая и минимальная формы в общем случае не совпадают.

Приведем схему упрощения формы булевой функции

Таблица истинности

СДНФ

Сокращенная ДНФ

Тупиковая ДНФ

Заметим, что минимизацию можно проводить по числу букв, что соответствует минимизации числа входов, либо элементарных логических элементов конечного автомата, либо по числу членов, что соответствует минимизации числа функциональных элементов.

7

1.Условия задач типового расчёта2

1.1Формулировки задач

№1. Записать формулу функции f (x1, x2, x3) и минимизировать ее

геометрическим методом, методами неопределённых коэффициентов, минимизирующих карт, Квайна, Квайна – Мак-Класки, карт Карно. Сравнить результаты.

№2. Записать формулу функции f (x1, x2, x3, x4) и минимизировать её

методами Квайна, Квайна – Мак-Класки и карт Карно. Сравнить результаты.

№3. Записать формулу функции f (x1, x2, x3, x4, x5) и минимизировать методом карт Карно.

№4. Во всех случаях заданий по п. №1, 2, 3 получить абсолютно минимальное представление ФАЛ в базисе { -, &, }. Сравнить результаты.

№5. Записать исходную ФАЛ во всех случаях заданий по п. №1, 2, 3 в базисе Вебба; минимизировать её методами неопределённых коэффициентов, минимизирующих карт, Квайна, Квайна – Мак-Класки, карт Карно. Сравнить результаты.

2 Также использованы материалы учебно-метод. пособия [9, см. дополнит. литературу]

8

1.2 Варианты представления функций алгебры логики

Прилагаются таблицы с вариантами представления ФАЛ. В таблицах по горизонтали стоят номера функций соответственно варианту задания. Пустая клетка в таблице означает, что значение функции равно нулю.

Задание №3: Варианты представления ФАЛ f (x1, x2, x3, x4, x5)

10