ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Ватолкин_full

2.Образцы решения задач типового расчёта

2.1Минимизация функции трёх переменных геометрическим методом, методами неопределённых коэффициентов, минимизирующих карт, Квайна, Квайна – Мак-Класки, карт Карно

Задача №1. Записать формулу функции f(x1,x2,x3) и минимизировать её геометрическим методом, методами неопределённых коэффициентов, минимизирующих карт, Квайна, Квайна – Мак-Класки, карт Карно. Сравнить результаты.

Решение:

1.Геометрический метод.

Данная функция задается следующей таблицей истинности:

Её формула в СДНФ имеет вид:

(1, 2, 3)СДНФ = 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3 .

Отметим на рис.1 вершины куба, соответствующие конъюнкциям, входящим в СДНФ данной функции:

x3

Заметим, что четыре вершины лежат в одной грани (x2), а две на одном ребре (x1x3).

Откуда следует, что минимальная форма функции и есть сумма:

x2˅x1x3, т.е. f(x1,x2,x3) МДНФ = x2˅x1x3. Другого варианта решения здесь не может быть. Задача решается однозначно.

2. Метод неопределённых коэффициентов.

(1, 2, 3)СДНФ = 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3.

Составим систему, в которой справа поместим координаты вершин (область определения функции). Верхние индексы коэффициентов комбинируем соответственно из записанных координат вершин с учётом взятых нижних индексов.

Вычеркнем уравнения, в правой части которых стоят нули, а в остальных уравнениях вычеркнем коэффициенты равные нулю.

После этого система примет вид:

1= 21˅1201˅2310˅123010;

1= 21˅1201˅2311˅123011;

1= 1311˅123101;

1= 21˅1211˅2310˅123110;

1= 21˅1211˅1311˅2311˅123111.

12

4. Метод Квайна.

(1, 2, 3)СДНФ = 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3 ˅ 1 2 3.

13

Поместим члены f (x1, x2, x3) в 1-й столбец таблицы, занумеруем их.

Применим закон склеивания, результат запишем во 2-й столбец таблицы, склеенные члены 1-го столбца отметим звездочками. И так далее, начиная со

второго столбца. В третьем столбце x2 склеивать не с чем, процесс закончен.

их дает сокращённую ДНФ, но в данном случаем сразу получаем искомый результат: f(x1,x2,x3) МДНФ= x2˅x1x3.

5. Метод Квайна – Мак-Класки.

( , , )СДНФ = ˅ ˅ ˅ ˅ .

Заменим исходные импликанты их кодами в двоичных переменных: 010, 011, 101, 110, 111. Разобьём по числу единиц коды исходных импликант на группы, поместим их в таблицу. Далее применим закон склеивания к членам соседних групп (при склеивании различие между членами допускается только в одной позиции), перебирая каждый член 1-й группы со всеми членами 2-й, 2-й c 3-ьей и т.д. При этом, сравнивая коды членов соседних групп, образуем члены низшего ранга (на месте исключённого знака пишем в них «тире»). Затем всю совокупность членов низшего ранга снова разбиваем на группы, но уже по местоположению знака «тире» и т.д. Заметим, что все дальнейшие сравнения членов, начиная со второго, производим только внутри групп, при этом новые члены низшего ранга образуем аналогично. Процесс заканчиваем тогда, когда члены между собой уже не склеиваются.

Получаем окончательный ответ: f(x1,x2,x3) МДНФ= x2˅x1x3.

14

6. Метод карт Карно.

( , , )СДНФ = ˅ ˅ ˅ ˅ .

Строим карту с симметричным расположением аргументов, один из них расположим с одной стороны, два других – с другой. Каждая клетка карты соответствует членам СДНФ функции, содержащим 3 знака (выделенные единицы в клетках 3, 4, 6, 7, 8, а также

ставлена там, где они равны единице. Каждая пара соседних клеток может быть склеена. Могут быть склеены любые четыре соседние клетки и все восемь клеток. Так можно склеить клетки 1 и 5, 1 и 2 и т.д., а также 2, 3, 6, 7; 1, 5, 4, 8 и т.д. Члены столбца склеиваются той переменной, которой соответствует весь столбец, а строки – вся строка. Перейдём теперь к нашей задаче. В карте проставляются только значения функции, равные 1, нули не записывают. Клетки, содержащие единицы, склеивают. Для этого их обводят линиями (окружностями, эллипсами (в нашей задаче это одна окружность и один эллипс), разомкнутыми дугами (в нашей задаче их нет)), чтобы получались максимальные области карты, т.е. такие, которые нельзя увеличить. Простые импликанты, входящие в ответ задачи, будут соответствовать этим областям (более подробно по поводу построения и обработки карт Карно см. на стр. 38, а также, например, [9, дополнительная литература, стр. 182-

189]). Получаем окончательный ответ: f(x1,x2,x3) МДНФ= x2˅x1x3.

Сравнив, все результаты, полученные разными методами, убедившись, что они все одинаковы, запишем ответ задачи. Ответ: f(x1,x2,x3) МДНФ= x2˅x1x3.

2.2 Минимизация функции четырёх переменных методами Квайна, Квайна – Мак-Класки и карт Карно

Задача №2. Записать формулу функции f (x1, x2, x3, x4) и минимизиро-

вать её методами Квайна, Квайна – Мак-Класки и карт Карно. Сравнить результаты.

Решение:

Данная функция задается следующей таблицей истинности:

Её формула в СДНФ имеет вид:

(1, 2, 3, 4)СДНФ= 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅

˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4.

15

1. Метод Квайна.

Запишем члены функции в 1-й столбец таблицы, применим к ним закон склеивания, рассматривая последовательно 1-й член со всеми остальными, затем 2-й со всеми остальными и т.д. Результаты запишем во 2-й столбец таблицы, занумеруем их и укажем в скобках номера склеенных членов, а в 1- ом столбце склеившиеся члены пометим звездочками. Повторим эту процедуру с членами 2-го столбца и т.д. Те импликанты, которые не склеиваются, обведем рамочками, они являются простыми импликантами. Повторяющиеся импликанты удалим.

Т.к. в столбцах 1, 2, 4 составленной таблицы имеется всего одна метка, то первичная импликанта, стоящая в соответствующей строке, является существенной. Она не может быть исключена из минимальной формы функции, т.к. без нее не может быть получено покрытие всего множества импликант данной функции. Из таблицы меток исключаются строки и столбцы, на

16

пересечении которых стоит эта единственная метка. Существенные импликанты запоминаем.

По закону поглощения меньшее количество меток в столбце может исключить большее. Так столбцы 1, 2, 4 входят соответственно в 3, 8, 10; в 9, 10 и в 5, 6, 7, поэтому исключаем все эти столбцы из таблицы меток.

Из оставшихся существенных импликант записываем тупиковую форму, которая совпадает с минимальной формой данной функции:

f(x1,x2,x3, x4)МДНФ = x2x4 ˅ x2x3 ˅ x1x2.

2. Метод Квайна – Мак-Класки.

(1, 2, 3, 4)СДНФ= 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4.

Заменим исходные импликанты их кодами в двоичных переменных:

0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1101, 1110, 1111.

Разобьем коды исходных импликант на группы, поместим их в таблицу. Далее применим закон склеивания к членам соседних групп, перебирая каждый член 1-й группы со всеми членами 2-й группы и т.д. (см. пояснения на стр. 14 к задаче 5 на метод Квайна – Мак-Класки)

Все преобразования сделаем сразу в таблице:

Далее построим таблицу меток, в неё впишем исходные и первичные импликанты в виде двоичных кодов.

17

Обработку таблицы меток производим по методу Квайна.

Получаем: f = (-1-1) ˅ (-11-) ˅ (10--). Окончательно получаем минимальную форму данной функции:

f(x1,x2,x3, x4)МДНФ = x2x4 ˅ x2x3 ˅ x1x2.

3. Метод карт Карно.

(1, 2, 3, 4)СДНФ= 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4 ˅ 1 2 3 4.

1 1 1

1 1 1

x2

1 1 1 1

x1

После обработки карты получаем окончательный ответ:

f(x1,x2,x3, x4)МДНФ = x2x4 ˅ x2x3 ˅ x1x2.

Сравнив, все результаты, полученные разными методами, убедившись, что они все одинаковы, запишем ответ задачи.

Ответ: f(x1,x2,x3, x4)МДНФ = x2x4 ˅ x2x3 ˅ x1x2.

18

2.3 Минимизация функции пяти переменных методом карт

Её формула в СДНФ имеет вид: f(x1,x2,x3,x4,x5)СДНФ=

= 1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅ ˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅

˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅ ˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5˅1 2 3 4 5.

19

Минимизируя функцию, получаем: