ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Ватолкин_full

Получаем: f=(-100)↓(00--).

Окончательно получаем минимальную форму данной функции:

f(x1,x2,x3, x4)МНФ =( ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ).

5.Метод карт Карно.

f(x1,x2,x3, x4)СНФ = ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4)↓ ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4).

0

x2

0

x1

Получаем окончательный ответ:

f(x1,x2,x3, x4)МНФ =( ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ).

Сравнив, все результаты, полученные разными методами, убедившись, что они все одинаковы, запишем ответ задачи.

Ответ: f(x1,x2,x3, x4)МНФ =( ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ).

3. Функция пяти переменных.

f(x1,x2,x3,x4,x5)СНФ = ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5)↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5).

31

1.Метод неопределённых коэффициентов.

Опираясь на вышеизложенные алгоритмы, составим систему уравнений с неопределёнными коэффициентами для данной функции (см. Приложение №2, стр. 42).

С учётом того, что все коэффициенты для уравнений, у которых в левой части стоит единица, равны нулю, преобразуем исходную систему к следующему виду:

Из полученной системы следует, что 234001 = 13450100 = 13450011 = 13451001 =

= 13451111 = 12340110 = 12341100 = 12341111 = 1, значит, все остальные элементы бу-

дут равны нулю.

В результате этих преобразований получаем:

f(x1,x2,x3, x4,x5)МНФ=( ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓

↓( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ )↓

↓( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ).

2.Метод минимизирующих карт.

f(x1,x2,x3,x4,x5)СНФ = ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5)↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5).

32

Построим для данной функции минимизирующую карту и проведём необходимые преобразования (см. Приложение №3, стр. 43).

Работа с картой производится аналогично классическому методу (обведём те элементы, которые не вычеркиваются в ходе работы).

Пусть ( 1 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) =

=( 1 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) =( 1 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) = ( 1 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) = =( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4) = ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4)=( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 )= ( 2 ↓ 3 ↓ 4) =

=1. Оставшиеся элементы будут равны нулю. Запишем окончательный результат:

f(x1,x2,x3, x4,x5)МНФ=( ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ )↓

↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ).

3.Метод Квайна.

С помощью таблицы получим минитермы 3-го и 2-го рангов:

Построим таблицу меток (см. Приложение №4, стр. 46).

Как известно, по методу Квайна получаются тупиковые формы. Обработка таблицы в данном случае подтверждает это утверждение. Найдем минимальное покрытие. Выбирается такая совокупность первичных импликант, которая бы имела метки во всех столбцах. Предпочтение отдается варианту покрытия с минимальным числом букв в первичных импликантах, образующих покрытие. Учитывая все указания, запишем тупиковую форму данной функции, которая одновременно является и минимальной формой:

f(x1,x2,x 3, x4,x5)МНФ=( ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ )↓

↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ).

33

4.Метод Квайна – Мак-Класки.

f(x1,x2,x3,x4,x5)СНФ = ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5).

Заменим исходные импликанты их кодами в двоичных переменных:

00010, 00011, 00100, 01011, 01100, 01101, 10001, 10010, 10011, 10111, 11000, 1101, 11110, 11111.

Разобьём коды исходных импликант на группы, поместим их в таблицу. Далее применим закон склеивания к членам соседних групп, перебирая каждый член 1-й группы со всеми членами 2-й группы и т.д.

Все преобразования сделаем сразу в таблице:

Далее построим таблицу меток, в нее впишем исходные и первичные импликанты в виде двоичных кодов (см. Приложение №5, стр. 46).

34

После обработки таблицы, получаем тупиковые формы. Дальнейшая работа с таблицей аналогична методу Квайна. Запишем итоговый результат:

f(x1,x2,x3, x4,x5)МНФ=( ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓

↓( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ )↓

↓( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ).

5.Метод карт Карно.

f(x1,x2,x3,x4,x5)СНФ = ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓

↓( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5) ↓ ( 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5).

Составим карту Карно:

↓( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ )↓

↓( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ).

Сравнив, все результаты, полученные разными методами, убедившись, что они все одинаковы, запишем ответ задачи.

Ответ: f(x1,x2,x3, x4,x5)МНФ=( ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓

↓ ( ↓ ↓ ↓ ) ↓ ( ↓ ↓ ↓ ).

35

2.6Выводы

Входе выполнения расчётно-графической работы по теме «Минимизация ФАЛ» познакомились с функциями алгебры логики (ФАЛ) или, как их ещё называют, булевыми функциями и с формами их записи (СДНФ, МДНФ

идр.). Изучили некоторые законы алгебры логики (например, законы склеивания и поглощения).

Научились минимизировать функцию шестью разными методами: геометрическим методом, методом неопределённых коэффициентов, методом минимизирующих карт, методом Квайна, методом Квайна – Мак-Класки, методом карт Карно.

На наш взгляд, самым наглядным, понятным, наиболее экономным и менее трудоёмким является метод карт Карно; данный метод быстрее всего приводит к ответу.

Также рассмотрели монофункциональный базис Вебба, в котором проделали аналогичную работу по минимизации булевых функций. Получили опыт в нахождении абсолютно минимального представления функции и в нахождении выхода из тупиковых ситуаций (форм), к которым иногда приводит метод Квайна.

Убедились, что ответы, полученные в одной задаче разными методами, совпадают, т.е. приводят к одному результату. Можно говорить о плюсах и минусах различных методов. Так, например, метод неопределённых коэффициентов или метод Квайна неудобен в применении относительно функций с большим числом переменных (пять переменных и более).

Итак, изучив тему «Минимизация ФАЛ», освоили наиболее рациональные и экономные методы для решения конкретных задач по минимизации булевых функций.

36

Пояснения к построению и обработке карт Карно

Правила нумерации строк и столбцов карты Карно

1.Строки и столбцы можно нумеровать переменными или их отрицаниями (например, x1x2x3) или их двоичными кодами (например, 100).

2.Порядок нумерации допускает склейку импликант. Например, нумерация строк x1x2 , x1x2 , x1x2 , x1x2 допускает две склейки соседних

(строки | столбцы), соответствующие рефлексивному двоичному коду Грея:

1)функция трёх переменных — (0 1 | 00 01 11 10), карта 2 4,

2)функция четырёх переменных — (00 01 11 10 | 00 01 11 10), карта 4 4,

3)функция пяти переменных — (00 01 11 10 | 000 001 011 010 110 111 101 100), карта 4 8.

Замечание. Помеченные таким образом клетки карты Карно удовлетворяют следующему свойству: геометрически соседние клетки (по горизонтали и по вертикали) совпадают с логическими соседями в смысле фон Неймана — расстояние Хемминга между кодами Грея соседних клеток равно 1.

38

Правила склейки для функции n переменных

1.Для получения ДНФ склейку клеток карты Карно осуществляют по единицам.

2.Склеивать можно только прямоугольные области с числом единиц

2k , где k — целое положительное число, 1 k n, при этом рекомендуется брать максимальное из возможных значений k . В некоторых ситуациях в раскладке образуется единица, которую невозможно склеить с какой-либо областью. В этом случае единица склеивается «сама с собой».

3.Область, которая подвергается склейке, должна содержать только единицы.

4.Крайние клетки каждой горизонтали и каждой вертикали также граничат между собой и могут объединяться в прямоугольники.

5.Все единицы должны попасть в какую-либо область.

6.Каждое склеивание возможно только по одной переменной.

7.С точки зрения минимальности ДНФ число областей должно быть как можно меньше (каждая область представляет собой импликант), а число клеток в области должно быть как можно больше (чем больше клеток в области, тем меньше переменных содержит импликант; импликант размером

2k ячеек содержит n k переменных).

8.Одна ячейка карты Карно может входить сразу в несколько областей.

9.В отличие от СДНФ, ДНФ не единственны. Возможно несколько эквивалентных друг другу ДНФ, которые соответствуют разным способам покрытия карты Карно прямоугольными областями.

39

Минимизация функции

1.В заполненной единицами и нулями карте Карно последовательно выбирают помеченные области, покрывающие карту.

2.В каждой области определяют, какие переменные или их отрицания не меняются в пределах этой области, и записывают конъюнкцию этих переменных.

3.Конъюнкции областей объединяют дизъюнкцией.

Карты Карно были предложены Э.В. Вейчем (1952 г.) и усовершенствованы М. Карно (1953 г.).

40