Алгоритм а* оптимального назначения задач на процессоры

Алгоритм А* реализует стратегию поиска первого наилучшего. Алгоритм широко используется для решения задач искусственного интеллекта. Он может использоваться как для древовидных так и не древовидных графов. Обход дерева поиска оптимального назначения задач на процессоры алгоритм начинает с корня. Получаемое начальное решение проблемы можно назвать нулевым. Промежуточной нетерминальной вершине дерева поиска соответствует частичное решение проблемы (одни задачи назначены, другие нет), вершине-листу (терминальной вершине) соответствует полное решение (все задачи назначены на процессоры). Стоимостная функция f(d) вычисляется для каждой вершины d дерева поиска. Значением f(d) является оценочная стоимость наиболее «дешевого» решения от корня к листу, проходящего через вершину d. Эту стоимость можно записать в виде:

, (2)

где g(d) – стоимость решения, ассоциируемая с путем от корня дерева до вершины d; b(d) – нижняя граница стоимости решения, ассоциируемого с путем от вершины d до одного из листьев дерева.

Под раскрытием вершины понимается генерация всех ее дочерних вершин в дереве поиска и вычисление значения функции f для каждой дочерней вершины. Сгенерированные вершины упорядочиваются по убыванию значения функции стоимости. Алгоритм поддерживает упорядоченный список сгенерированных вершин, называемый OPEN. Поскольку из списка выбирается всегда первая вершина с наименьшей стоимостью, алгоритм гарантирует нахождение оптимального решения путем последовательного раскрытия вершин.

Для проблемы поиска оптимального назначения задач на процессоры имеет место следующее:

• пространством поиска является дерево;

• начальная вершина (корень) дерева описывает нулевое назначение задач на процессоры;

• промежуточные (нетерминальные) вершины описывают частичные назначения задач на процессоры;

• вершины-листья (терминальные) описывают полные назначения.

При расчете значения функции f(d), слагаемое g(d) есть стоимость частичного назначения задач на процессоры в вершине d, т.е. частичная загрузка наиболее загруженного процессора p, определяемая посредством соотношения (1). Для вычисления b(d) используются два подмножества задач: подмножество T_p и подмножество U. Подмножество T_p включает задачи, уже назначенные на процессор p. Подмножество U включает задачи, еще не назначенные на процессоры и имеющие одну или более связей с задачами из множества T_p. Каждая задача t_i из U будет назначена на процессор p или другой процессор q, имеющий прямую связь с p. Следовательно, мы можем ассоциировать два вида стоимости с каждым назначением t_i: либо X_ip (время решения t_i на p), либо сумму H_pi времен обмена данными всех задач из T_p, имеющих связи с задачей t_i. С использованием минимального значения стоимостей двух видов

cost(t_i) = min (X_ip, H_pi) (3)

принимается решение о назначении или не назначении t_i на p. Нижняя граница b(d) стоимости назначения оставшихся вершин на процессоры оценивается выражением:

. (4)

на каждом шаге работы алгоритма А*.

Описание алгоритма А* дано на рис.1. Особенностью этого описания является генерация случайного начального назначения задач на процессоры. Начальное значение позволяет сократить число раскрываемых вершин в дереве поиска и тем самым ускорить нахождение оптимального значения.

Сгенерировать случайное решение Пусть S_Opt есть стоимость этого решения Сгенерировать корневой узел s дерева поиска и построить начальное состояние списка OPEN Присвоить f(s)=0 Repeat Выбрать узел d с минимальным значением f(d) if (d не есть полное решение) Сгенерировать дочерние вершины узла d for каждой дочерней вершины d’ do if (d’ не находится на нижнем уровне дерева поиска) f(d’) = g(d’) + b(d’) else f(d’) = g(d’) end if if (f(d’) ≤ S_Opt) Вставить d’ в список OPEN end for end if if (d является полным решением) Вывести решение d Until (d является решением) or (список OPEN пустой)

Рис.1. Алгоритм А* оптимального назначения задач на процессоры