Двойственность в задачах линейного программирования

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной; первоначальная задача называется исходной, или прямой. Решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Математический аппарат линейного программирования позволяет не только получать оптимальный план, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, двойственной задачи к исходной ЗЛП.

Рассмотрим экономическую интерпретацию двойственной задачи на примере задачи оптимального использования ресурсов.

Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи к задаче решенной ранее.

Количество неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. В исходной задаче три ограничения: по труду, по сырью и по оборудованию. Следовательно, и в двойственной задаче - три неизвестных:

Y ₁ - двойственная оценка ресурса «труд», или «цена труда»;

Y ₂ - двойственная оценка ресурса «сырье1», или «цена сырья1»;

Y ₃ - двойственная оценка ресурса «сырье 2», или «цена сырья2»;

Y ₄ - двойственная оценка ресурса «оборудование», или «цена оборудования».

Двойственная задача, по отношению к исходной задаче составляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи формулируется на максимум , целевая функция двойственной задачи − на минимум , при этом в задаче на максимум все неравенства в функциональных ограничениях имеют вид ≤, в задаче на минимум − вид ≥.

2. Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица А^T в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием.

А А^T

4. Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений исходной задачи (m=4), а число ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной задачи (n=3).

5. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи.

Необходимо найти такие «цены» на ресурсы (Y_i) чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

Решение двойственной задачи можно найти в отчете Поиска реше­ний - отчете по устойчивости.

Рис.9. Отчет по устойчивости.

Изучив отчет по устойчивости можно ответить на следующие вопросы:

1. Ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов.

2. Увеличение объемов, какого вида ресурсов наиболее выгодно?

3. На сколько можно увеличить запас сырья для улучшения полученного оптимального значения целевой функции?

4. Каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения?

5. Целесообразность включения в план новых изделий.