
- •1. Определение векторного пространства Rn.
- •2. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
- •3. Базис и размерность векторного пространства. Ранг системы векторов.
- •4. Слу. Элементарные преобразования в слу. Методы Гаусса и Жордана-
- •5. Матрица системы линейных уравнений и матрично-векторная запись слу.
- •11. Матрицы. Размерность матрицы. Специальные матрицы (нулевая,
- •12. Сложение матриц, свойства.
- •13. Умножение матрицы на число, свойства.
- •14. Умножение матриц, свойства.
- •15. Операция транспонирования, свойства.
- •21. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.
- •22. Линейные отображения линейного пространства.
- •23. Матрица линейного отображения.
- •24. Собственные векторы и собственные числа.
- •25. Характеристический многочлен линейного отображения
- •31. Угол между прямыми на плоскости
- •32. Виды уравнения плоскости в пространстве.
- •33. Угол между плоскостями.
- •34. Взаимное расположение плоскостей.
- •35. Расстояние от точки до плоскости.
- •44. Кривые второго порядка на плоскости: эксцентриситет и директрисы.
- •45. Поверхности второго порядка в пространстве.
- •46. Полярные координаты.
- •7. Связь множества решений совместной неоднородной слу и соответствующей ей ослу, запись общего решения неоднородной слу.
- •9. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами и длина вектора.
- •17.Определитель n-го порядка. Минор и алгебраические дополнения
- •18.Определители второго и третьего порядка
- •19.Свойства определителя
- •26.Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Канонический вид.
- •27.Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы.
- •28.Прямая на плоскости. Виды уравнения прямой.
- •30.Взаимное расположение прямых на плоскости
7. Связь множества решений совместной неоднородной слу и соответствующей ей ослу, запись общего решения неоднородной слу.
Пусть даны 2 системы лин. ур-й:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
…
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
и
a11x1+a12x2+…+a1nxn=0
a21x1+a22x2+…+a2nxn=0
…
am1x1+am2x2+…+amnxn=0-запись общего реш неоднородной СЛУ.
Пусть М-мн-во реш. ОСЛУ (γ1;γ2;…;γn)-частное реш. неоднородной СЛУ.
Пусть (α1;α2;…;αn) ϵМ. Покажем, что сумма векторов (α1;α2;…;αn)+ (γ1;γ2;…;γn) есть реш. неоднородной СЛУ.
Пусть as1x1+as2x2+…+asnxn=bs-S-е ур-е системы.
Тогда as1(α1+γ1)+ as2(α2+γ2)+…+ asn(αn+γn)= (as1α1+ as2α+…+ asnαn)+( as1γ1+ as2γ2+…+ asnγn)=0+bs=bs.
Отсюда получаем, что мн-во совместной неоднородной СЛУ получается как сумма всех реш. однородной сист. лин. ур-й с некоторым (частичным) реш. неоднородным СЛУ.
8. Скалярное произведение в Rn.
Рассм. отображение •: RnxRnR (т.е отображение, обозначаемое •, паре векторов а и b из Rn сопоставл. Число из R) со след. усл.: Для любых a, b, с ϵRn и любого числа αϵR справедливы равенства: 1. a*b=b*a 2. (α*a)b=α(a*b) 3. (a+b)c=a*c+b*c, при этом 4. a*a≥0 и a*a=0 при усл., что сам а= Ѳ Отображение назвы. скалярным произведением векторов из Rn. Из определения скалярного произведения следует, что справедливы равенства для любых векторов а, b ϵRn, и любых α и β ϵR. 1. a(α*b)=α*a*b и (α*a)*(β*b)=(α*β)*(a*b) 2. (a±b)* (a±b)=a*a+2ab+b*b 3. Ѳ*a=0
9. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами и длина вектора.
1) Пусть a, b ϵR и a≠ Ѳ, b≠ Ѳ. Для любого числа х ϵR справедливо: (a+x*b) (a*x+b)≥0. Тогда a2+2xab+x2b2≥0 или х2b2+2xab+а2≥0-квадратичное нерав-во, кот. справедливо для любого х ϵR. Отсюда получаем, что дискриминант этого нерав-ва ≤0. Значит (2ab)2-4a2b2 ≤0 или 4(ab)2-4a2b2, значит (ab)2 ≤ a2b2. Последнее неравенство назыв. нерав-во Каши-Бунековского. Заметим, что это неравенство справедливо в случае a= Ѳ или b= Ѳ. 2) Пусть а ϵRn, т.к а*а≥0, то существует арифметич. корень . Число назыв. длиной вектора а и обозн. ׀а׀. ׀а׀=2 Пусть а,b ϵRn и a≠ Ѳ, b≠ Ѳ, по нерав-ву К-Б получаем (ab)2 ≤ a2b2, отсюда (ab)2/ а2b2≤ 1 или -1≤ab/2*2≤1. Получаем -1 ≤ab/׀a׀*׀b׀≤ 1. Величину arcсos ab/׀a׀*׀b׀ назыв. углом между векторами а и b и обозн. (a^b): 1. (a^b) ϵ[0, 180] 2. cos (a^b)=ab/׀a׀*׀b׀ 3. a*b=׀a׀*׀b׀* cos (a^b)
10. Ортонормированный и ортогональный базисы пространства. Выражение скалярного произведения векторов через их координаты в ортонормированном базисе. Пусть e1, e2,…,es–базис системы векторов М.Базис e1, e2,…,es –ортогональный; если скалярное произведение ei*ej=0, для всех i и j-1,…,s и i≠j. Говорят, векторы базиса ортонормированными, если: 1. ei*ej=0, для всех i и j-1,…,s и i≠j. 2. ׀ ei׀=1, для любого i-1,…,s (говорят, что векторы базиса-нормированы). Если a*b=0 для a, b ϵRn, то (a^b)=90 и при этом пишут, что вектор a перпендикулярен b. Как выглядит скалярное произведение векторов в ортогональном базисе: Пусть e1, e2,…,en-базис пространства Rn, кот. явл. ортонормированным. Пусть a, b ϵRn. Тогда a=α1e1+ α2e2+…+ αnen и b= β1e1+ β 2e2+…+ βnen. Вычисляем: a*b = (α1e1+ α2e2+…+ αnen)(β1e1+ β 2e2+…+ βnen)=…= (α1β1)e1e1+ (α2β2)e2e2+…+ +(αnβn)enen= α1β1 + α2β2 +…+ αnβn. ei*ej=0
16.Обратная матрица. Использование эквивалентных преобразований для нахождения обратной матрицы 1 0 … 0
0 1 … 0
0 0 … 1 мхn
Матрица назыв. единичной и обозн. Е. Пусть А, В, Е ϵ Мn (R). Тогда справедливо А*Е=Е*А=А Матрица В назыв. обратной к матрице А, если А*В = В*А = Е. При этом пишут В=А-1. Если для матрицы А сущ. обратная матрица, то матрицу А назыв. обратимой. Теорема: Пусть А ϵ Мn (R). Матрица А явл. обратимой тогда и только тогда, когда определитель матрицы А≠0. (׀А׀≠0) Способы вычисления обратной матрицы: 1) С помощью присоединения матрицы. Пусть А ϵ Мn (R) матрица вида:
А11 А12 … А1n
А21 А22 … А2n
...
Аn1 Аn2 … Аnn
где Aij- алгебр. доп-е к элем. матрицы А для всех i, j=1, …, n - назыв. присоединенной и обозн. А* Теорема: Пусть А ϵ Мn (R) и обратима. Тогда, А-1= 1/׀А׀ х (А*)Т 2) С помощью элементарных преобразований (метод черты). 1. перемена 2-х строк местами 2. умнож. строки на не нулевое число 3. прибавление одной строки к др., умножение на число. Пусть А ϵ Мn (R). Рассм. матрицу, кот. получается «склеиванием» матрицы А с Е, принадлежащей тому же мн-ву (Мn (R)), кот. обозн.: (А׀Е) Теорема: Если матрица А обратима, то с помощью элементарных преобр. матрицу (А׀Е) можно привести к матрице (Е׀А-1). Т.к слева от черты нах-ся един. матрица, то справа от черты – обратная к А.