46. Полярные координаты.

На плоскости можно ввести так называемую декартову систему координат.(рис.) На плоскости можно ввести и другие системы координат, одна из них называется полярной. Пусть на плоскости задан луч ОЕ (рис.). Луч ОЕ будем называть полярной осью, точку О - полюсом. Точка Е – единичная точка, отрезок ОЕ задает масштаб измерений на плоскости. Можем считать, что длина отрезка ОЕ равна единице. Выберем на плоскости произвольную точку М. Отрезов ОМ называется полярным радиусом точки М. Обозначаем длину ОМ=ρ. Будем считать, что ρ ≥ 0. Далее, между лучом ОЕ и отрезком ОМ можно определить угол, который обозначим φ. Будем считать, что φ ϵ R. По двум введенным характеристикам φ и ρ точка на плоскости определяется однозначно. Таким образом, веденная система координат на плоскости называется полярной. Пара чисел (φ, ρ) называется полярными координатами точки плоскости. В дальнейшем, полярная система и декартова система будут согласовываться следующим образом.(рис.) Точка О на плоскости является началом координат декартовой системы, и полюсом полярной системы. Оси ОЕ и Ох совпадают. Рассмотрим случай, когда М совпадает с полюсом О. В этом случае полярный радиус имеет длину, равную 0, т.е. ρ = 0. Если специально не оговорено, то считаем, что φ для точки М не определен. Вернемся к согласованным системам координат хОу (декартова) и ОЕ (полярная) если в системе ОЕ у точки М определены координаты (φ; ρ), то в системе хОу у точки М координаты находятся по формулам: (рис.) . Обратно, пусть у точки М определены декартовы координаты (х, у). Полярные координаты точки М определяются по формулам: ρ = . cosφ = x/ρ, sinφ = y/ρ ; cosφ = х/ ;. Справедливо: arcsin aϵ [-П/2; П/2] ; arccos а ϵ [0; П].

6. Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ). Множество решений ОСЛУ как подпространство в Rn, его размерность. Базис подпространства решений (фундаментальная система решений) и запись общего решения ОСЛУ в форме линейной комбинации с неопределёнными коэффициентами.

СЛУ вида

называется однородным. М-мн-во решений ОСЛУ. Св-ва мн-ва М: 1. М - непустое мн-во. Одно из реш. ОСЛУ явл. реш. вида (0;0;…;0) значит, (0;0;…;0) ϵМ и поэтому М- непустое мн-во. 2. Сумма любых 2-х реш. ОСЛУ, как векторов, есть реш. этой системы. Значит, если (α1; α2;…;αn), (β1; β2;…;βn) ϵМ, то (α1+ β1; α2+; β2…;αn+ βn) ϵМ.

Покажем это. Пусть аs1х1+аs2х2+…+asnxn=0–S-е ур-е системы. Тогда as1α1+as2α2+…+asnαn=0 и as1β1+as2β2+…+asnβn=0-верные числ. равенства. Отсюда получаем, что as1(α1+β1)+ as2(α2+β2)+…+ asn(αn+βn)=0-верное числ. равенство, значит (α1+β1; α2+β2;…; αn+βn) ϵМ.

3. Произведение любого реш. ОСЛУ, как вектора на число(скаляр) есть реш. этой системы. Это означ., что если (α1; α2;…;αn) ϵМ и r ϵR, то (rα1; rα2;…;rαn) ϵМ.

Покажем это. Пусть аs1х1+аs2х2+…+asnxn=0–S-е ур-е системы. Тогда as1α1+as2α2+…+asnαn=0-верное числ. равенство. Отсюда as1(rα1)+ as2(rα2)+…+ asn(rαn)=0-верное числ. равенство. Значит, (rα1; rα2;…; rαn) ϵМ. При этом говорят, что мн-во М замкнуто относительно операций слож. векторов и умнож. вектора на скаляр. Заметим, что не все системы векторов обладают замкнутостью. Фундаментальной сист. реш. ОСЛУ(ФСРОСЛУ) назыв. базис(при усл. его существования) мн-ва реш. этой ОСЛУ.