33. Угол между плоскостями.

Пусть даны 2 плоскости:

α: А1х+В1у+С1z+Д1=0;

β: А2х+В2у+С2z+Д2=0.

К плоскостям α и β построим нормальные векторы n_α=(А1, В1, С1) и n_β=(А2, В2, С2). Угол между плоскостями α и β обозначается (α^β). Считается, что угол между плоскостями меняется от 0⁰ до 90⁰. Можно показать, что cos(α^β)=|cos(n_α; n_β)|. Тогда cos(α^β)=

34. Взаимное расположение плоскостей.

Взаимное расположение плоскостей в пространстве: плоскости в пространстве могут быть совпадающими, пересекающимися, параллельными. Пусть

α: А1х+В1у+С1z+Д1=0;

β: А2х+В2у+С2z+Д2=0. Рассмотрим случаи: 1) плоскости α и β совпадают или параллельны. В этом случае считается, что (α^β)=0⁰; при этом пишут α׀׀β. Если α׀׀β, то , (в частном случае: А1=А2, В1=В2, С1=С2).

2) плоскости α и β перпендикулярны. В этом случае считают, что (α^β)=90⁰ и пишут α⟘β. Если α⟘β, то n_α*n_β=0, т.е. А1*А2+В1*В2+С1*С2=0.

35. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть плоскость α задается общим уравнением: Ах+Ву+Сz=0. Расстояние от точки F до плоскости α обозначается ρ(F;α). Расстояние от точки до плоскости – наикротчайшее расстояние от этой точки до данной плоскости. Известно, что ρ(F;α) есть длина перпендикуляра, опущенного из точки F на плоскость α. Справедлива формула: ρ(F;α)=

44. Кривые второго порядка на плоскости: эксцентриситет и директрисы.

Эксцентриситет обозначается e или E. Считается, что 1) для эллипса Е=с/а <1; 2) для гиперболы Е=с/а >1; 3) для параболы Е=1. Для эллипса и гиперболы вводится понятие директрисы. В этом случае директрисами являются прямые х=а/Е.

45. Поверхности второго порядка в пространстве.

Пусть в пространстве задана система координат хуzО. Поверхностью 2го порядка называется множество точек с координатами (х, у, z), координаты которых удовлетворяют ур-ю: а11х²+а22у²+а33z²+а12ху+а13хz+а23уz+а1х+а2у+а3z=0, где а11, а22, а12, а13, а23 одновременно не равны нулю. К классическим поверхностям 2го порядка относятся поверхности вращения, цилиндры и конусы. 1) поверхность вращения. Задание: кривая, лежащая в плоскости; прямая (ось вращения). Через точку М и ось вращения проводится плоскость, перпендикулярная оси вращения. В этой плоскости точка М вращается по окружности, центр которой расположен на оси вращения. Таким образом поступаем с каждой точкой данной прямой; получается поверхность, называемая поверхностью вращения. 2) цилиндрическая поверхность (цилиндр). Задание: кривая, лежащая в плоскости; прямая (направляющая цилиндра). Через точку М проводим прямую, параллельную направляющей цилиндра. Таким образом поступаем с каждой точкой кривой и получаем цилиндрическую поверхность. 3)коническая поверхность (конус). Задание: кривая, лежащая в плоскости; точка(вершина конуса). Через точку М и вершину конуса проводим прямую. Таким образом поступаем с каждой точкой кривой и получаем коническую поверхность. Также к классическим поверхностям 2го порядка относят эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды. 1) эллипсоид. Данная поверхность в системе координат хуzО задается уравнением: Проекциями эллипсоида на координатные плоскости являются эллипсы. Например, в плоскости хОу получаем эллипс 2) гиперболоид. а)однополостный гиперболоид. Данная поверхность в системе координат хуzO задается уравнением: .В плоскости хОу (т.е. где z=0) получаем эллипс и уОz получаем гиперболу и . При пересечении поверхностей плоскости параллельной хОу в сечении образуется эллипс. б) двуполостный гиперболоид. Данная поверхность в системе координат хуzО задается уравнением: В плоскости хОz и уОz получаем гиперболы: и -

Заметим, что |z|с. При |z|с в сечении поверхности с плоскостью, параллельной плоскости хОу, получаем эллипс. 3) параболоиды. а) эллиптический параболоид. Данная поверхность в системе координат хуzО задается уравнением: : Заметим, что z c. В сечениях поверхности плоскостям, параллельным поверхности хОу, получаем эллипсы. В плоскости хОz и уОz получаем параболу и . 6) гиперболический параболоид. Данная поверхность в системе координат хуzО задается уравнением