25. Характеристический многочлен линейного отображения

Уравнение -λE]=0 называется характеристическим. Многочлен -λE] n-ой степени называется характеристическим многочленом. Теорема: Пусть (е) и (f) – базисы Rn. Тогда ур-е -λE]=0 и -λE]=0 равносильны, т.е. множество их решений совпадает. Доказательство: Пусть λ решение ур-я -λE]=0. Справедливы формулы: = T_f→e**T_e→f . Тогда 0=-λE| = | T_f→e**T_e→f – λ₀* T_f→e*E*T_e→f| = |T_f→e(-λ₀Е)T_e→f| = |T_f→e|*|(-λЕ)|*|T_e→f| = |T_f→e|*|T_e→f|*-λ₀E| = |T_f→e*T_e→f|*-λ₀E| = |E|*-λ₀E| =-λ₀E|. Значит -λ₀E| = 0, поэтому λ₀ – корень характеристического уравнения -λ₀E| = 0. Отсюда следует, что характеристическое уравнение -λ₀E| = 0 и -λ₀E| = 0.

31. Угол между прямыми на плоскости

Пусть l1 и l2 – прямые. Угол между прямыми обозначается (l1^l2). Считается, что угол между прямыми изменяется от 0⁰ до 90⁰, т.е. (l1^l2)ϵ [0⁰;90⁰]. Если (l1^l2)=90⁰, то говорят, что прямые перпендикулярны, при этом пишут l1⟘l2. Если прямые l1и l2 параллельны или совпадают, то считают, что (l1^l2)=0⁰. Пусть а и в – направляющие векторы прямых l1 и l2 соответственно. Тогда справедлива формула: cos(l1^l2)=|cos(a,в)|=. В частном случае, если l1⟘l2, то а*в=0.

32. Виды уравнения плоскости в пространстве.

1) с помощью точки и 2х направляющих векторов. Направляющие векторы плоскости – ненулевые векторы, которые меж собой непараллельные. Пусть вектор а=(а1, а2, а3), вектор в=(в1, в2, в3) направляющие векторы плоскости α. с=а1+в1=α1а+β1в. Получаем М₀М=а+в; (х-х₀; у-у₀; z-z₀) = s(a1, a2, a3)+t(в1, в2, в3). , - параллетическое задание плоскости. s, t ϵ R; s, t – параметры. Здесь x, y, z - координаты точек, ϵ плоскости α. Считается, что в пространстве задана система координат xyzO. Далее рассмотрим определитель: , где строчки определителя есть координаты векторов М₀М, а и в. Т.к. М₀М =sa+tв, то умножить 2ю строчку на (-s), 3ю строчку на (-t) и прибавить результаты к первой строчке, получим следующее равенство:

=

= = 0. Получим = 0, здесь а1, а2, а3, в1, в2, в3, х0, у0,z0 – конкретные числа. Разложим определитель по 1й строчке: (х-х0)*А11+(у-у0)*А12+(z-z0)*А13=0, где А11=, А12= -, А13=. А11, А12, А13 – конкретные числа. Раскрыв скобки получаем: А11*х+А12*у+А13*z+ (-х0*А11-у0*А12-z0*А13)=0. Введем обозначение А=А11, В=А12, С=А13, Д=-х0*А11-у0*А12-z0*А13. Получаем уравнение: Ах+Ву+Сz+Д=0 (общее стандартное уравнение плоскости).

2) с помощью трех точек. Пусть точки М₀, М₁, М₂ не лежат на одной прямой. В качестве направляющих векторов возьмем векторы М₀М₁, М₀М₂. Получаем уравнение: =0

3) с помощью точки и нормального вектора. Нормальный вектор к плоскости- это ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости. Из рассуждений получаем: (х-х₀)*А+(у-у₀)*В+(z-z₀)*С=0. Левую часть равенства можно рассматривать как скалярное произведение 2х векторов. Тогда вектор М₀М* вектор (А, В, С)=0, значит вектор (А, В, С)⟘α. Итак, вектор (А, В, С) – один из нормальных векторов к плоскости α.

4) для плоскости в пространстве можно определить так называемое уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость задается общим уравнением Ах+Ву+Сz+Д=0. Отсюда получаем Ах+Ву+Сz= -Д /: (-Д)

, =1. Введем обозначение: а = -Д/А ; в = -Д/В ; с = -Д/С. Получаем уравнение (уравнение плоскости в отрезках)