22. Линейные отображения линейного пространства.

Пусть Rn – векторное (линейное) пространство. Пусть φ: Rn→Rn – отображение векторного пространства Rn на себя ( т.е. отображение φ каждому вектору их Rn сопоставляет единственный вектор из этого пространства), обладающее свойствами: -любой, все, каждый. 1) (, в ϵ Rn)(φ(а+в)=φ(а)+φ(в) ) 2) (а ϵ Rn)(α ϵ R)(φ(αа)=αφ(а) ). В этом случае отображение φ называется линейным. Если φ(а)=в, где а,в ϵ Rn, то вектор в называется образом а, под действием отображения φ, а вектор а называется прообразом вектора в. Простейшими линейными отображениями векторного пространства Rn являются следующие отображения:1) (а ϵ Rn)(φ(а) = Ѳ) (обоз.φѲ) нулевое отображение. 2) (а ϵ Rn)(φ(a)=a) (обоз. φ=iα) тождественное отобр. 3) (а=(а1, а2, …, an) ϵ Rn)(φ(а)=α1а1, α2а2, …,αnan) для фиксированных чисел α1, α2, …, αn. Пусть φ – линейное отображение векторного пространства Rn. Отображение ψ («пси») называется обратным отображением φ, если их композиции φψ и φ равны тождественному отображению id, при этом пишут ψ=φ^-1. Следовательно: =()^-1.

23. Матрица линейного отображения.

Пусть (е): е1, е2, …, еn – базис пространства Rn. Разложим по этому базису вектора φ(е1), φ(е2), …, φ(еn): φ(e1) = α11e1 + α12e2+ …+α1nen, φ(e2) = α21e1+α22e2+…+α2nen, …, φ(en) = αn1e1+αn2e2+…+αnnen. Введем обозначение: . Матрица называется матрицей линейного отображения φ в базисе (е). Далее, пусть а ϵ Rn, и а=α1е1+α2е2+…+αnen. Тогда φ(а) = φ(α1е1+α2е2+…+αnеn) = φ(α1e1)+φ(α2e2)+…+φ(αnen) = α1φ(e1)+α2φ(e2)+…+αnφ(en) = α1(α11e1+α12e2+…+α1nen) + α2(α21e1+α22e2+…+α2nen) + αn(αn1e1+αn2e2+…+αnnen) = (α1α11+α2α21+…+αnαn1)e1 + (α1α12+α2α22+…+αnαn2)e2 + (α1α1n+α2α2n+…+αnαnn)en. Рассматривая координатные строки [a]_e, [φ(a)]_e векторов а и φ(а) в базисе (е) и матрицу , получаем равенство: [φ(a)]_e=[a]_e*. В матрице линейное отображение φ однозначно определяется и наоборот. Теперь пусть (е): е1, е2, …, en и (f): f1, f2, …, fn - это базисы пространства Rn. Тогда [a]_e=[a]_f*T_e→f и [φ(a)]_e=[φ(a)]_f*T_e→f. Т.к. [φ(a)]_e = [a]_e*, то [φ(a)]_f*T_e→f = [a]_f*T_e→f*, отсюда [φ(a)]_f = [a]_f*T_e→f**T^-1_e→f = [a]_f*T_e→f**T_f→e. Т.к. [φ(a)]_f = [a]_f*, то получаем = T_e→f**T_f→e , аналогично получаем = T_f→e**T_e→f .

24. Собственные векторы и собственные числа.

Пусть φ:Rn→Rn – линейное отображение. Вектор а ϵ Rn, aѲ, называется собственным вектором отображения φ, если φ(а)=λа для некоторого числа λ. λ-называется собственным числом отображения φ. Заметим, что собственное число λ может равняться и нулю. Возникает вопрос о нахождении собственных чисел и собственных векторов линейного отображения. Пусть l1, l2, ln – базис Rn. Тогда в этом базисе можно составить матрицу линейного отображения, т.е. матрицу . При этом справедлива формула [φ(a)]_e=[a]_e*. Пусть а = (х1, х2, …, хn) – собственный вектор линейного отображения φ. Будем считать, что [a]_e = (x1, x2, …, xn).

Пусть =; φ(a) = λa для λ ϵ R. Т.к. φ(a)=a* и φ(а) = λа, то а*=λа. Подробнее получаем: или

Получили систему линейных уравнений, систему n-уравнений и n-переменных, т.к. а - собственный вектор, то а0, то значит, хотя бы 1 значение не равняется 0. Следовательно у полученной системы есть хотя бы 1 ненулевое решение. 0=∆х1, 0=∆х2, 0=∆хn; х1=∆х1/∆, х2=∆х2/∆, хn=∆хn/∆. Значит =0, известно, что . Отсюда получаем =0. Заметим, что = = [-λE]. Значит -λE]=0. Вывод: Итак, собственные числа линейного отображения φ являются решениями уравнения -λE]=0. Решив это уравнение n-ой степени найдем собственные числа. Зная собственные числа, найдем собственный вектор. Уравнение -λE]=0 называется характеристическим.