11. Матрицы. Размерность матрицы. Специальные матрицы (нулевая,

единичная, квадратная).

Множество действительных чисел R. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Размерностью матрицы называется пара чисел, обозначаемая mхn, где m – количество строк, n – количество столбцов. Общий вид матрицы следующий: A==(a_ij)_mxn.

Множество всех матриц размерности mxn обозначается Мmxn ( R ). Две матрицы А и В одинаковой размерности называются равными, если соответствующие элементы этих матриц равны. При этом пишут А=В.

Нулевая матрица – это матрица размерности mxn, все элементы которой равны нулю. Нулевая матрица, и только она, имеет ранг=0. Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения вектор-строки слева. Единичная матрица – квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю. Матрица, в которой количество строк совпадает с количеством столбцов называется квадратной.

12. Сложение матриц, свойства.

Сумма матриц А и В ϵ Мmxn называется матрица А+В, которая получается путем сложения соответствующих элементов матриц А и В. Свойства сложения матриц: Пусть А, В, С ϵ Мmxn. 1) А+В=В+А 2) (А+В)+С=А+(В+С) 3) А+Ѳ=А, где Ѳ-матрица, элементами которой являются нули (нулевая матрица).

13. Умножение матрицы на число, свойства.

Произведение матрицы А ϵ Мmxn на число α ϵ R, называется матрица, обозначаемая αА, которая получается путем умножения всех элементов матрицы А на число α. Свойства умножения матрицы на число: Пусть А, В ϵ Mmxn и α, β ϵ R. 1) α(βА)=(αβ)А 2) α(А+В)=αА+αВ 3) (α+β)А=αА+βА 4) 1А=А 5) 0А=Ѳ 6) αѲ=Ѳ.

14. Умножение матриц, свойства.

Пусть А ϵ Мmxn, В ϵ Мnxk. А_i - i-я строка матрицы А, В^j – j-й столбец матрицы В. Тогда А_i=(a_i1, a_i2, …, a_in), B^j=. Произведение строки А_i на столбец B^j называется число, обозначаемое A_i*B^j, которое вычисляется по формуле: A_i*B^j = a_i1в_1j+a_i2в_2j+…+a_imв_nj. Произведение матрицы А на матрицу В называется матрица, обозначаемая А*В, элементы которой равны A_i*B^j для всех i=1,2,…,n; j=1,2,3,…,k. Свойства умножения: Пусть А, В, С матрицы, α – число. 1) (АВ)С=А(ВС) 2) (αА)В=α(АВ) 3) (А+В)С=АС+ВС 4) С(А+В)=АС+ВС, НО! АВ не всегда = ВА.

15. Операция транспонирования, свойства.

Транспонированная матрица А ϵ Mmxn называется действие, при котором 1я строчка матрицы А записывается в виде 1го столбца, 2я строчка в виде 2го столбца и т.д. Матрица, транспонированная к матрице А и обозначается А^т. Свойства транспонирования матрицы: Пусть А и В ϵ Мmxn, α ϵ R. 1) (А^т)^т=А 2) (αА)^т=αА^т 3) (А+В)^т=А^т+В^т

21. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.

Пусть М – система координат, имеющая базис; пусть (е):е1, е2, …, еs и (f): f1, f2, …, es – базисы системы векторов М, а ϵ М. Тогда а=α1е1+α2е2+…+αses, a=β1f1+β2f2+…+βsfs. Введем обозначение [a]_e=(α1, α2, …, αs) и [a]_f=(β1, β2, …, βs). Выражение [a]_e и [a]_f называется координатными строками вектора а в базисах (е) и (f) соответственно. Т.к. е1, е2, …, es – базис М и f1, f2, …, fs ϵ М, то выразим каждый вектор f1, f2, …, fs через базис (е). f1=t11e1+t12e2+…+t1ses; f2=t21e1+t22e2+…+t2ses; …; fs=ts1e1+ts2e2+…+tsses. Введем обозначение: T_e→f (каждый вектор из f линейно выражается через е). T_e→f=. Матрица T_e→f называется матрицей перехода от базиса (е) к базису (f). Т.к. a=β1f1+β2f2+…+βsfs, то учитывая выше предложенное разложение, получаем: a=β1f1+β2f2+…+βsfs=β1(t11e1+t12e2+…+t1ses)+β2(t21e1+t22e2+…t2ses)+…+βs(ts1e1+ts2e2+…+tsses)=(β1t11+β2t21+…+βsts1)e1+(β1t12+β2t22+…+βstss)es. Получим разложение вектора а через базис е1, е1, …, еs. Т.к. a=α1t1+α2e2+…+αses через базис вектор выражается единственным образом, то получаем равенство: α1=β1t11+β2t21+…+βsts1; α2=β1t12+β2t22+…+βsts2; …; αs=β1t1s+β2t2s+…+βstss или (α1, α2, …, αs)=(β1, β2, …, βs)x или [a]_e=[a]_f*T_e→f. Аналогично рассуждая, получаем равенство [a]_f=[a]_e*T_f→e. Полученные равенства выражают связь координатных строк вектора а в различных базисах. Выясним свойство матрицы перехода от одного базиса к другому. Получаем: [a]_e=[a]_f*T_e→f=[a]_e*T_f→e*T_e→f. [a]_f=[a]_e*T_e→f=[a]_f*T_e→f*T_f→e. Т.к. [a]_e=[a]_e*E_sxs и [a]_f=[a]_f*E_sxs, где E_sxs - единичная матрица, то T_e→f*T_f→e=E и T_f→e*T_e→f=E, значит, по определению, матрицы T_e→f и T_f→e являются взаимообратными, т.е. T_e→f=T_f→e и T_f→e=T_e→f. Итак, матрицы перехода от одного базиса к другому обратимы.