1. Определение векторного пространства Rn.

Множества всех действительных чисел ( R ).

n-мерным вектором называется а называется упорядоченный набор из n чисел (α1, α2, αn) и обозначается а=(α1, α2, …, αn). Числа α1, α2, αn называются координатами вектора а.

Множество всех n-мерных векторов обозначается Rn.

Вектор (о, о, …, о) называется нулевым Ѳ.

Векторы а= (α1, α2,…, αn) и в=(β1, β2, …, βn) ϵ Rn называются равными, если α1= β1, α2= β2, …, αn = βn, при этом пишут а=в.

Действия с векторами: Пусть а= (α1, α2,…, αn) и в=(β1, β2, …, βn) ϵ Rn, r ϵ Rn.

1) Сумма векторов а и в называется вектор с координатами (α1+ β1, α2+ β2, …, αn + βn) и обозначается а+в: а+в = (α1, α2, …, αn)+ (β1, β2, …, βn).

2) Произведение вектора а на число r, называется вектор с координатами (rα1,rα2,…, rαn) и обозначается rа: rа = r (α1, α2, …, αn)= (rα1,rα2,…, rαn)

Теорема: (свойства действий над векторами)

Пусть а, в ϵ Rn; k,l ϵ R. Тогда справедливо:

1) k(la) = (kl)a. 2) (k+l)a = ka+la. 3) k(a+в) = ka + kв. 4)1а=а. 5) 0а = . 6) kѲ = Ѳ

Множество Rn с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим векторным пространством. «число» = «скаляр»

2. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Пусть Rn – арифметическое векторное пространство,

М с(включение) Rn.

Если М ≠ пустому множеству, то множество М называется системой векторов. Не исключается случай, когда М = Rn.

Множество М может быть как конечным, так и бесконечным.

Пусть а1, а2, …, аs ϵ Rn; r1, r2, …, rs ϵ Rn. Выражение вида: r1a1+r2a2+…+rsas называется линейной комбинацией а1, а2, …, аs.

Если два вектора в ϵ Rn справедливо равенство: в = r1a1+r2a2+…+rsas, то говорят, что вектор в линейно выражается чрез векторы а1, а2, …, аs.

Примеры: вектор в=(8,11) линейно выражается через векторы а1=(1,1), а2=(2,3), а3=(4,5) (в пространстве) ϵ R².

Действительно, т.к. 2а1+3а2+0а3 = 2(1,1)+3(2,3)+(0,0) = (2,2)+(6,9)+(0,0) = (8,11), то в = 2а1+3а2+0а3.

Пусть а1,а2,…,аs ϵ М, где М система векторов.

Очевидно, что 0а1+0а2+…+0аs=Ѳ. Возникает вопрос: при каких значениях r1, r2, …, rs ϵ R может выполняться равенство: r1a1+r2a2+…+rsas=Ѳ.

Система векторов а1, а2, …, аs называется линейно зависимой, если найдутся не все нулевые числа r1, r2, …, rs, что выполняется равенство r1a1+r2a2+…+rsas=Ѳ.

В противном случае система векторов а1, а2, …, аs называется линейно независимой. Если система векторов а1, а2, …, аs является линейно независимой, то равенство r1a1+r2a2+…+rsas=Ѳ справедливо в том и только в том случае, когда все числа r1, r2, …, rs = 0.

3. Базис и размерность векторного пространства. Ранг системы векторов.

Пусть М – система векторов арифметического векторного пространства Rn.

Векторы а1, а2, …, аs ϵ М, образуют базис система векторов М, если выполняются условия: любой вектор из М линейно выражается через векторы а1, а2, as, причем такое выражение для каждого вектора единственно. Единственность означает следующее: если в=k1а1+k2а2+…+ksаs, в=l1a1+l2a2+…+lsas, то k1=l1, k2=l2, …, ks=ls.

Для того, чтобы доказать, что векторы а1, а2, …, аs образуют базис системы векторов М нужно: 1) показать, что а1, а2, …, аs ϵ М. 2) показать, что любой вектор из М линейно выражается через векторы а1, а2, …, аs.

3) показать, что для любого вектора из М выражение через векторы а1, а2, …, as единственно.

Условие 3 можно ослабить. Теорема: Пусть через векторы а1, а2, …, аs любой вектор из М линейно выражается. Пусть также справедливо следующее: нулевой вектор единственным образом выражается через а1, а2, …, as; тогда и любой вектор из М единственным образом выражается через а1, а2, …, аs.

Док-во: пусть в ϵ М и в=k1a1+k2a2+…+ksas и в=l1a1+l2a2+…+lsas.

Т.к. в-в=Ѳ, то (k1a1+k2a2+…+ksas)- (l1a1+l2a2+…+lsas)=Ѳ;

(k1-l1)a1+(k2-l2)a2+…+(ks-ls)as=Ѳ.

Т.к. 0а1+0а2+…+0аs=Ѳ и по условию вектор Ѳ единственным образом выражается через a1, a2, …, as, то k1-l1=0, k2-l2=0, …, ks-ls=0, значит k1=l1, k2=l2, …, ks=ls. Следовательно, в единственным образом выражается через векторы а1, а2, …, as.

Далее, пусть M=Rn. Можно показать, что векторы e1=(1,0,0,…,0,0), e2=(0,1,0,…,0,0), e3=(0,0,1,…,0,0), …, e_n-1=(0,0,0,…,1,0), en=(0,0,0,…,0,1) образуют базис пространства Rn. Справедлива теорема: любые 2 базиса системы векторов содержат одинаковое количество векторов, то есть а1, а2, …, as и в1, в2, …, вt – базисы системы М, то s=t. Следствие: если а1, а2, …, as – базис пространства Rn, то s=n.

Количество базисных векторов в системе векторов называется рангом и обозначается rank. Если система векторов совпадает со всем пространством Rn, то вместо слова «ранг» используется слово «размерность», обозначение dim.