МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра ЭФ-4 «Бухучет, финансы и аудит»

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой ЭФ-4

_______(Бондарчук Н.В.)

«__» июня 2007г.

Для студентов 2го курса экономического факультета

Специальностей 08.0105 и 08.0109

Кандидат экономических наук, доцент, Нечаева Т.В.

(ученая степень, ученое звание, фамилия и инициалы автора)

ЛЕКЦИЯ № 11

по дисциплине 5483 (Эконометрика)

ТЕМА «Системы эконометрических уравнений. Косвенный и двухшаговый метод наименьших квадратов»

Обсуждена на заседании кафедры

(предметно-методической секции)

«___»___________2007г.

Протокол № __

МГУПИ – 2007г.

Тема лекции: Системы эконометрических уравнений. Косвенный и двух-шаговый метод наименьших квадратов»

Учебные и воспитательные цели:

1. Формирование у студентов представления об эконометрических моделях, которые строятся в виде систем уравнений

2. Ознакомление с основными типами систем эконометрических уравнений

3. Усвоение содержания косвенного и двухшагового метода наименьших квадратов

Время: 2 часа (90 мин.).

Литература (основная):

1. «Эконометрика», под редакцией Елисеевой И.И., М., «Финансы и статистика», 2005г

2. Елисеева И.И., Курышева С.В., Гордеенко Н.М., Бабаева И.В., Костеева Т.В., Михайлов Б.А., «Практикум по эконометрике», Изд-во «Финансы и статистика», Москва, 2004.

Литература (дополнительная):

3. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю., «Учебно-методическое пособие по дисциплине «Эконометрика», Изд-во РЭА., Москва, 2004.

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., «Эконометрика: Учебник для вузов», ЮНИТИ-ДАНА, Москва, 2004.

5. Доугерти К., «Введение в эконометрику», Инфра-М, Москва, 2004.

Учебно-материальное обеспечение:

1. Наглядные пособия: раздаточный материал в виде плакатов

2. Технические средства обучения: электронный конспект лекций

ПЛАН ЛЕКЦИИ:

Введение – до 5 мин.

Основная часть (учебные вопросы) – до 80 мин.

1-й учебный вопрос: Основные типы систем эконометрических уравнений- 20 мин.

2-й учебный вопрос: Особенности системы одновременных уравнений – проблема идентификации - 10 мин.

3-й учебный вопрос: Основное содержание косвенного МНК – 25 мин.

4й учебный вопрос: Основное содержание двухшагового МНК – 15 мин

5й учебный вопрос: Другие разновидности МНК – 10 мин

Заключение – до 5 мин.

ТЕКСТ ЛЕКЦИИ

Введение.

Эконометрические модели очень часто строятся не только в виде отдельных уравнений, но и целых систем уравнений. При построении таких систем возникает ряд проблем. Для расчета параметров многих из них не применим обычный МНК, и приходится пользоваться его различными модификациями. На данной лекции мы ознакомимся с проблемами, возникающими при построении эконометрических моделей в виде систем уравнений, и изучим основное содержание косвенного МНЛ (КМНК) и двухшагового МНК (ДМНК)

1-й учебный вопрос: Основные типы систем эконометрических уравнений.

Объектом эконометрических исследований обычно являются сложные социально-экономические системы, описываемые целым рядом переменных. Однако измерение тесноты связей между отдельными переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Обычно изменение одной переменной повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных факторных признаков (показателей).

Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной.

Именно поэтому в эконометрических и социально-экономических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными в виде системы так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений. Например, если изучается модель спроса в виде зависимости от соотношения цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Сбалансированное сочетание этих двух моделей позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

В еще большей степени возрастает потребность в использовании системы взаимосвязанных уравнений, если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам. Наиболее распространенные макроэкономические модели обычно включают в себя следующую систему уравнений регрессии: уравнение функции потребления, выражающее зависимость конечного потребления от валового национального дохода, уравнение производственной функции, выражающее зависимость валового национального дохода от капитала (инвестиций), и труда (заработной платы), тождество доходов и т.д. Это связано с тем, что макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Так, расходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода. Вместе с тем величина валового национального дохода рассматривается как функция от затрат труда и капитала (инвестиций).

Системы эконометрических уравнений обычно делят на три типа:

Первый тип – это система независимых уравнений, имеющая вид:

у ₁=а₁₀+а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1mх_m+e₁

у₂=а₂₀+а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2mх_m +e₂

.

.

у_n=а_n0+а_n1х₁+а_n2х₂+…+а_nmх_m+e_n

В такой системе каждая зависимая переменная y рассматривается как функция от одного и того же набора независимых факторных переменных x₁, x₂,…x_m.

Принципиально возможна и такая ситуация, когда набор факторов x₁ в каждом уравнении различается. Например, модель вида

y₁ = f (x₁,x_2, x_3, x_4, x_5,);

y₂ = f (x₁, x_3, x_4, x_5,);

y₃ = f (x_2, x_3, x_5,);

y₄ = f ( x_3, x_4, x_5,).

также является системой независимых уравнений, но с тем отличием, что набор факторов видоизменяется в каждом уравнении, входящем в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравнении системы может быть следствием как экономической нецелесообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t-критерия или F - критерия для данного фактора).

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется обычный метод наименьших квадратов, так как, по существу, каждое отдельное уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член a_0. Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, то в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.

Однако если зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении, то можно построить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

y ₁ = a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1m x_m + e_1,

y₂ = b₂₁y₁ + a₂₁x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2m x_m + e_2,

y₃ = b₃₁y₁ + b₃₂y₂ + a₃₁x₁ + a₃₂ x₂ + … + a_3m x_m + e_3,

…………………………………………………………

y_n = b_n1y₁ + b_n2y₂ + b_nn-1y_n-1 + a_n1x₁ + a_n2 x₂ + … + a_nm x_m + e_n.

Таким образом, второй тип системы эконометрических уравнений – это система рекурсивных уравнений

Специфика такой системы заключается в том, что в каждом уравнении разный набор независимых (экзогенных) и зависимых (эндогенных) переменных, но каждое уравнение всё равно может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются с помощью обычного МНК.

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором независимых факторных переменных х.

Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида

y ₁ = a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ + e_1,

y₂ = b₂₁y₁ + a₂₁x₁ + a₂₂ x₂ + a₂₃ x₃ + e_2,

где у_{1 -} производительность труда_;

у₂ - фондоотдача_;

х₁ - фондовооруженность труда;

х₂ - энерговооруженность труда;

х₃ - квалификация рабочих.

Как и в системе независимых уравнений, каждое уравнение системы рекурсивных уравнений может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются обычным методом наименьших квадратов.

Но в эконометрических исследованиях часто используются модели, к которым обычный метод наименьших квадратов не применим, и приходится использовать различные его модификации.

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила так называемая система взаимозависимых уравнений.

В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях - в правую часть системы:

y ₁ = b_12* y₂ + b_13* y₃ +… + b_{1n *} y_n + a_{11 *} x₁ + a_{12 *} x₂ +…+ a_1m x_m + e_1,

y₂ = b_21* y₁ + b_23* y₃ +… + b_{2n *} y_n + a_{21 *} x₁ + a_{22 *} x₂ +…+ a_2m x_m + e_2,

_{…………………………………………………………………………………………}

y_n = b_n1* y₁ + b_n2* y₂ +… + b_{nn-1 *} y_n-1 + a_{n1 *} x₁ + a_{n2 *} x₂ +…+ a_nm x_m + e_n,

Таким образом, третий тип систем эконометрических уравнений – это система взаимозависимых уравнений, которая получила также название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК не применим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида

y ₁ = b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + e_1,

y₂ = b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + a₂₃ x₃ + e_2,

где у_{1 -} темп изменения месячной заработной платы _;

у₂ - темп изменения цен_;

х₁ - процент безработных;

х₂ - темп изменения постоянного капитала;

х₃ - темп изменения цен на импорт сырья.

В такой системе каждая из переменных у₁ и y₂ одновременно выступают как зависимая (эндогенная) в одном уравнении, и как независимая (экзогенная) переменная – в другом.

Поэтому каждое уравнение не может рассматриваться самостоятельно, и обычный метод наименьших квадратов (МНК) для поиска его параметров не применим.

Такая система также называется структурной формой эконометрической модели. Для поиска параметров уравнений такую систему обычно преобразуют в другую форму, которая называется приведённой формой эконометрической модели.

Приведённая форма системы одновременных уравнений имеет вид

у ₁=d₁₁х₁+d₁₂х₂+…+d_1mх_m

y₂=d₂₁х₁+d₂₂х₂+…+d_2mх_m

y_n=d_n1х₁+d_n2х₂+…+d_nmх_m

Здесь эндогенные переменные отделены от экзогенных переменных, то есть приведенная форма модели – это фактически система независимых уравнений.

При преобразовании систем регрессионных уравнений в приведенную форму вначале преобразуются исходные статистические данные, таким образом, чтобы выразить все переменные в отклонениях от их среднего уровня, предполагая, что новые значения переменных равны:

Тогда можно рассматривать любое регрессионное уравнение без свободного члена a₀.

Структурная форма эконометрической модели, как уже было отмечено - это система одновременных уравнений. Здесь одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую часть системы, т.е. одни и те же переменные (у) одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях, и как независимые в др.

Структурная форма модели (СФМ) содержит эндогенные или зависимые переменные (у), причем их число равно числу уравнений в системе, а также и экзогенные переменные (х)-предопределенные или зависимые переменные, влияющие на эндогенные, но не зависящие от них.

2-й учебный вопрос: Особенности системы одновременных уравнений – проблема идентификации.

Рассмотрим расчет параметров системы одновременных уравнений на простейшем примере. Рассмотрим структурную форму модели (СФМ).

П ростейшая СФМ имеет вид системы из двух уравнений:

у₁=b₁₂y₂+a₁₁x₁+ε₁

y₂=b₂₁y₁+a₂₂x₂+ ε ₂.

СФМ позволяет увидеть влияние любой экзогенной переменной на значения эндогенной.

СФМ в правой части содержит коэффициенты: при у – bi, при х – aj, которые называются структурными коэффициентами модели.

Все переменные выражены в отклонениях от среднего уровня, т.е. здесь под х и у подразумеваются, соответственно, переменные:

Поэтому у этих уравнений нет свободных членов.

Так как непосредственное использование МНК для оценивания структурных коэффициентов невозможно (получатся смещенные и несостоятельные оценки), СФМ преобразуется в ПФМ (приведенную форму модели).

ПФМ представляет собой систему линейных функций, выражающих зависимость эндогенных переменных от экзогенных.

Коэффициенты ПФМ представляют собой нелинейные функции коэффициентов СФМ.

Например, для СФМ в виде системы из 2-х уравнений:

у ₁=b₁₂y₂+a₁₁x₁

y₂=b₂₁y₁+a₂₂x₂;

ПФМ имеет вид следующей системы уравнений:

у ₁= δ₁₁*х₁+ δ₁₂ *x₂

y₂= δ₂₁ *х₁+ δ₂₂ x₂, где δij может быть выражена через aj и bi.

Для примера найдем параметры первого уравнения из ПФМ. Выразим из первого уравнения СФМ у₂. у₂=(у₁-а₁₁х₁)/b₁₂. Подставим значение у₂ во второе уравнение СФМ и получим:

(у₁-а₁₁х1)/b₁₂=b₂₁у₁+а₂₂х₂.

Из данного равенства выражаем у₁=[а11/(1-b₁₂*b₂₁)]*х1+[а₂₂*b₁₂/(1-b₁₂*b₂₁)]*х₂. Пусть [а₁₁/(1-b₁₂*b₂₁)]= δ₁₁, а [а₂₂*b₁₂/(1-b₁₂*b₂₁)] = δ₁₂, тогда получим уравнение ПФМ вида у₁= δ₁₁*х₁+ δ₁₂ *x₂ (первое уравнение системы ПФМ). Аналогично находится второе уравнение системы ПФМ.

ПФМ хотя и позволяет получить значения эндогенных переменных через значения экзогенных, аналитически уступает СФМ, т.к. в ней отсутствуют оценки взаимосвязей между эндогенными переменными.

При расчете параметров СФМ возникает так называемая проблема идентификации, т.е. однозначного соответствия между параметрами приведенной и структурной формы эконометрической модели..

Вообще говоря, число параметров структурной формы модели обычно превышает число параметров приведенной формы модели, то есть на основе параметров ПФМ нельзя однозначно определить параметры СФМ. В приведенной форме модели число параметров в наиболее общем случае равно n∙m, где n – число уравнений (или, что то же самое, число эндогенных переменных y_j), а m – число независимых (экзогенных) факторных переменных x_i. В структурной форме модели число параметров больше, т.е. равно n∙m+n(n-1), так как в левой части каждого уравнения, кроме переменных x₁,x₂,…x_m, присутствуют и еще n-1 эндогенных переменных y_j

Поэтому, вообще говоря, нельзя однозначно выразить коэффициенты структурной формы модели через параметры приведенной формы. Для решения проблемы идентификации часто прибегают к разнообразным искусственным приемам. Например, предполагают, что некоторые из параметров структурной модели равны нулю, т.е. сознательно исключают некоторые эндогенные переменные ввиду их слабой взаимосвязи с эндогенной переменной из левой части системы. Уменьшение числа структурных коэффициентов может быть достигнуто и другим путем, например, путем приравнивая их друг к другу (вводя предположение о том, что влияние отдельных факторных переменных на эндогенную переменную в левой части уравнения одинаково) или полагая их сумму равной некоторой константе, и т.д.

С позиции идентифицируемости все структурные модели можно разделить на три вида:

- идентифицируемые;

- неидентифицируемые;

- сверхидентифицируемые.

Модель, построенная в виде системы одновременных уравнений, считается идентифицируемой, если все коэффициенты ее структурной формы однозначно определяются по коэффициентам приведенной формы, т.е. если число ее параметров равно числу параметров приведенной формы.

Модель является неидентифицируемой, если число коэффициентов приведенной формы меньше числа коэффициентов структурной формы. Структурная модель в полном виде (содержащая n эндогенных и m преопределенных переменных) всегда неидентифицируема.

Модель является сверхидентифицируемой, если число коэффициентов приведенной формы больше числа коэффициентов структурной формы.

Структурная модель всегда представляет собой систему одновременных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхиндентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Существует следующее общее правило для проверки идентифицируемости каждого отдельного уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемым, необходимо, чтобы выполнялось условие:

D+1=H,

где H – число эндогенных переменных в данном уравнении, а D – число экзогенных (предопределенных) переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, или – иными словами – число переменных, которых не хватает в данном уравнении до полного набора экзогенных переменных.

Если D+1< H, то уравнение неидентифицируемо,

А если D+1>H, то уравнение сверхидентифицируемо.

Прежде, чем использовать ту или иную модификацию МНК для поиска параметров системы одновременной системы, каждое из уравнений проверяется на идентификацию. Для идентифицируемой системы используется косвенный МНК, для сверхидентифицируемой – двухшаговый МНК. Если система является неидентифицируемой, то однозначно определить ее параметры нельзя до тех пор, пока искусственным образом не будет уменьшено число ее параметров (то есть переменных).

3-й учебный вопрос: Основное содержание косвенного МНК

Косвенный МНК (КМНК) применяется в случае точно идентифицированной структурной модели.

Этапы применения:

1. По структурной форме модели формальным образом выписывается приведенная форма модели.

2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты.

3. Коэффициенты приведенной формы модели путем алгебраических преобразований трансформируются в параметры структурной модели.