5.Геометрическое изображение вариационных рядов в виде гистограммы, полигона частот и кумуляты

Для визуального анализа вариационных рядов, чтобы иметь возможность судить о форме распределения частот по вариантам, используют их графические изображения. Вариационные ряды представляют в виде геометрических фигур в прямоугольной системе координат.

При построении графического изображения дискретного вариационного ряда на оси абсцисс откладывают варианты, по оси ординат – значения частот. На плоскости OXF выделяют точки c координатами (x , f_i ), (i = 1,…, n), где x – вариант, f_i – соответствующее значение частоты, и соседние точки соединяют отрезками прямых. Ломаная линия, составленная из отрезков прямых, каждый из которых соединяет точку с координатами (x , f_i) и точку с координатами ( ), называется полигоном частот.

В некоторых случаях строят полигон относительных частот, откладывая по оси ординат относительные частоты .

Примеры. На Рис. 1 и Рис. 2 приведен полигон частот сгруппированного вариационного ряда, построенного по данным примера 3.1., и полигон относительных частот того же вариационного ряда.

Рис. 1 Рис. 2

Для графического изображения интервального ряда используют гистограмму частот. При построении гистограммы на оси абсцисс выделяют точки – границы частичных интервалов. На получившихся отрезках строят прямоугольники с высотами, равными частоте соответствующего интервала. Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы, а высоты равны частотам соответствующих интервалов, называется гистограммой частот. Площадь всей гистограммы численно равна сумме частот, умноженной на шаг интервального ряда (величину частичного интервала).

В большинстве случаев строят гистограмму относительных частот . Площадь гистограммы относительных частот равна единице.

Примеры. Гистограмма частот для интервального ряда, построенного по данным примера 3.1., и гистограмма относительных частот того же интервального ряда изображены на Рис. 3 и Рис. 4.

Рис. 3 Рис. 4

Для визуального анализа вариационных рядов строят также кумуляту частот. При этом на оси абсцисс откладывают варианты признака или границы интервалов, а на оси ординат – соответствующие накопленные частоты. Точки с координатами и соединяют отрезками прямых. Получают ломаную линию, которая называется кумулятивной кривой (кумулятой).

Распределение относительных частот по вариантам представляют с помощью кумуляты относительных частот.

Примеры. На Рис. 5 и Рис. 6 представлены кумулята, построенная для интервального ряда по данным примера 3.1, и кумулята относительных частот того же интервального ряда.

Рис. 5 Рис. 6

Примеры. На рис. 7 изображена огива, а на рис. 8 – огива относительных частот, построенные по данным примера 3.1.

Рис. 7 Рис. 8

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6,Регрессия: вычисление коэффициентов b₀, b₁ для линейного уравнения регрессии.

7Корреляция: вычисление линейных коэффициентов корреляции .

8 .Корреляция в таблицах взаимной сопряженности: коэффициент ассоциации, контингенции, коэффициент Пирсона и коэффициент Чупрова.

Коэффициент ассоциации вычисляется по формуле

.

Коэффициент ассоциации имеет недостаток: если в одной из четырех клеток частота оказывается равной 0, величина по модулю равна 1, и мера действительной связи признаков оказывается преувеличенной.

Этого недостатка нет у коэффициента контингенции, который задается соотношением

.

Если число значений, которые принимает каждый из двух качественных признаков, оказывается большим, чем два, теснота связи между этими признаками измеряется с помощью коэффициентов взаимной сопряженности К. Пирсона и А.А.Чупрова.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона вычисляется по формуле

, где .

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова определяется соотношением

, где - число строк таблицы, - число столбцов таблицы.

Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ применяют, если результативный признак определяют не один, а несколько факторов. При этом необходимо:

1) обосновать взаимосвязи факторов, влияющих на исследуемый показатель,

2) определить степень влияния каждого фактора на результативный признак путем построения и решения уравнения множественной регрессии,

3. количественно оценить тесноту связи между результативными признаками и признака-

ми-факторами.

9Временные ряды: абсолютные базовые и цепные приросты, коэффициенты и темпы роста и прироста, абсолютное значение 1% прироста.

10Временные ряды: построение уравнения прогноза со смещением и без смещения начала временного отсчёта.

11,Временные ряды: построить уравнение тренда и линию тренда путем аналитического выравнивания.

Основная тенденция развития (тренд) представляет собой достаточно устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний. Модель уровня ряда динамики имеет вид

z = + ,

где z – уровень ряда, – средний уровень ряда, – случайная составляющая ряда. Ряд динамики называется стационарным, если в нем отсутствует тенденция роста. В стационарном ряду = Const и = 0. Это значит, что уровни ряда совершают колебания относительно некоторого среднего постоянного значения. Если стационарный ряд динамики разбить на ряд равных частей, то средние уровни по этим частям не должны существенно различаться. При наличии тенденции к изменению среднего уровня ряда динамики, средний уровень следует рассматривать как функцию времени. Методы анализа основной тенденции в рядах динамики разделяются на три группы:

• метод укрупнения интервалов;

• метод скользящей средней;

• метод аналитического сглаживания.

Метод аналитического выравнивания. Аналитическое выравнивание ряда динамики основано на выборе математической модели тренда. При этом фактические уровни ряда заменяются уровнями, которые вычислены на основе некоторой функции, выбранной в предположении, что она наилучшим образом описывает эмпирические данные.

На практике по имеющемуся ряду динамики задают вид функции и определяют ее параметры, а затем анализируют поведение отклонений значений ряда динамики от тенденции.

Выбор вида зависимости осуществляется на основе анализа динамики изучаемого явления. Линейная зависимость выбирается в случаях, когда в исходном динамическом ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты. Параболическая зависимость используется, когда в исходном ряду динамики абсолютные цепные приросты обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов тенденции развития не проявляют. Экспоненциальная зависимость применяется, если в ряду динамики наблюдается более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста).

Выбор формы кривой может быть основан на анализе графического изображения уровней динамического ряда; при этом целесообразно воспользоваться графическим изображением сглаженных уровней, в которых случайные колебания погашены.

При выборе параметров функций чаще всего используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает минимум суммы квадратов отклонений фактических уровней ряда динамики от выровненных значений – значений функции , вычисленных при тех же значениях времени min.