2. Средние хронологические, формулы их вычисления.

Средняя хронологическая простая

С редний уровень моментного ряда динамики с равноотстоящими уровнями характеризует средняя хронологическая простая, которая исчисляется по

формуле:

где X_i – значение уровня моментного ряда динамики;

n – число уровней моментного ряда динамики.

Например: По имеющимся данным определить средний товарный запас за первое полугодие

Дата	1 января	1 февраля	1 марта	1 апреля	1 мая	1 июня	1 июля
Товарный запас на указанную дату, тыс. руб.	984	1020	1003	998	1260	1254	1190
обозначение	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7

п=7

Средний товарный запас за полугодие составляет

Средняя хронологическая взвешенная

Средний уровень моментного ряда динамики с неравноотстоящими уровнями характеризует средняя хронологическая взвешенная, которая исчисляется по формуле:

X_i и X_i+1 – значение уровня моментного ряда динамики и уровня, следующего за ним;.

где f_i – промежуток времени между датами.

Например: Известна списочная численность персонала организации на некоторые даты 2009 года. Определить среднесписочную численность персонала за год.

Дата	1.01.2009	1.03.2009	1.06.2009	1.09.2009	1.01.2010
Численность персонала по списку на указанную дату, чел.	1200	1100	1250	1500	1350

Среднесписочная численность персонала за 2009 год составляет

3. Показатели вариации в статистике. Формулы вычисления дисперсии и среднего

квадратического отклонения, коэффициента вариации.

Если какой-либо количественный признак имеет разные значения у различных единиц совокупности, говорят, что он имеет вариацию. Для характеристики размера вариации в статистике применяются показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение (стандарт).

Дисперсия (от лат. dispersus – рассеянный, рассыпанный) представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений вариантов от среднего значения

.

Преобразовав выражение (5.1), получим иной вид записи дисперсии .

Среднее квадратическое отклонение (стандарт) S представляет собой квадратный корень из дисперсии

.

Коэффициент вариации V – выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения и среднего арифметического:

.

Коэффициент вариации является критерием типичности, достоверности средней. Если коэффициент вариации не велик (не превышает 35%), это значит, что средняя величина характеризует совокупность по признаку, который мало изменяется при переходе от одной единицы совокупности к другой. Типичность такой средней высока, и в последующих вычислениях и выводах вариационный ряд может быть заменён своим средним значением. Если коэффициент вариации превышает 35%, то среднее арифметическое не является типичным значением вариационного ряда, и использование его в качестве средней характеристики некорректно.

Пример. Имеются данные о средней месячной выработке изделий рабочими бригады

Средняя месячная выработка Изделий рабочим (штук) (X)	140-160	160-180	180-200	200-220
Число рабочих (F)	1	3	4	2

Определить показатели вариации.

Сформируем вспомогательную таблицу, обозначив середину i-го интервала

X	F
140-160	1	150	150	-34	34	1156	1156
160-180	3	170	510	-14	42	196	588
180-200	4	190	760	+6	24	36	144
200-220	2	210	420	+26	52	676	1352
Итого	10		1840		152		3240

Cредняя арифметическая месячная выработка = шт.

По данным таблицы вычислим показатели вариации

1. Размах вариации R = 210 – 150 = 60 шт.

2. Среднее линейное отклонение = шт.

3. Дисперсия = 324.

4. Среднее квадратическое отклонение = 18 шт.

6. Коэффициент вариации % = 9,8%.

Как видно из расчётов, коэффициент вариации составляет 9,8% и, следовательно, типичность среднего значения высока.

4. Структурные средние: мода, медиана, формулы их вычисления.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в ряду распределения. Мода определяется различными способами в зависимости от вида вариационного ряда. В дискретном вариационном ряду мода – вариант с максимальной частотой в изучаемой совокупности.

Пример 5.1. По данным статистического наблюдения получены значения величины X = {5, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 5, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 6}. Определить моду.

Построим вариационный ряд

X

1

1

1

1

1

1

2

2

2

3

4

4

5

5

6

Соответствующий сгруппированный вариационный ряд имеет вид:

X	1	2	3	4	5	6
F	6	3	1	2	2	1

Значение признака Х, имеющего наибольшую частоту (6) равно 1. Следовательно, для данного вариационного ряда = 1.

При отыскании моды в интервальном ряду сначала определяют модальный интервал – интервал, имеющий наибольшую частоту. Затем мода рассчитывается по формуле

, (5.5)

где – нижняя граница модального интервала; – величина модального интервала; – частота модального интервала, f_m-1 – частота интервала, предшествующего модальному, f_m+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Пример 5.2. По данным статистического наблюдения построен интервальный ряд распределения рабочих по заработной плате

Зар. плата (руб.)	1300-1400	1400-1500	1500-1600	1600-1700	1700-1800
Число рабочих (частота)	20	40	55	60	35
Кумулятивная частота	20	60	115	175	210

Найти моду.

Модальным интервалом является интервал (1600-1700). Подставив данные таблицы в формулу (5.5), получим

Mo = 1616,7 руб.

Медиана – значение признака (вариант), которое делит вариационный ряд на две равные части, одна из которых – со значениями признака меньше медианы, вторая – со значениями признака больше медианы.

Медиана для дискретных и интервальных вариационных рядов определяется по-разному. Если дан дискретный несгруппированный вариационный ряд и число вариантов n нечетно, то = , где ; если число вариантов n четное, = ( x + x ) / 2, где .

Пример. По данным примера 5.2 найти медиану дискретного вариационного ряда.

Число вариантов n несгруппированного ряда равно 15, следовательно, k = (n + 1)/2 = 8, и медиана равна 2.

Пример 5.3. Определить медиану по данным, приведенным в таблице

Размер заработной платы (тыс. руб.)	Число работников (частота)		Накопленная частота
5800	30		30
6000	45		75
6200	80		155
6400	60		215
6600	35		250

Решение. Сумма частот n = 250 – четно, = 125. = 6200.

В интервальном вариационном ряду для определения медианы сначала нужно найти медианный интервал – первый по счету интервал, в котором накопленная частота равна или превышает полусумму частот вариационного ряда. После этого медиана определяется по формуле

,

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

Пример. По данным примера 5.3 определить медиану интервального ряда.

Медианным является интервал (1500-1600), так как это первый по счету интервал, сумма накопленных частот которого (115) больше полусуммы накопленных частот интервального ряда (0.5∙210 = 105). Подставив данные примера в формулу для медианы интервального ряда, получим

.