3. Адиабатный процесс, .

Это процесс, при котором система не обменивается теплотой с окружающей средой. Практически процесс производят при достаточно быстром расширении или сжатии газа.

Тогда из первого закона следует:

- система совершает работу за счет убыли внутренней энергии. Или, записывая более подробно, получим:

(13)

Здесь теплоемкость при адиабатном процессе - , т.к., .

Из (13) видно, что (14)

При расширении и , газ охлаждается, при адиабатном сжатии и , газ нагревается.

Связь между параметрами состояния адиабатного процесса можно найти, взяв дифференциалы от и от уравнения Менделеева - Клапейрона:

(15) , отсюда можно выразить , подставить в уравнение (14) и получить: . Заменив здесь из уравнения Майера, получим после простых преобразований:

, далее разделим переменные, поделив уравнение на и обозначим - показатель адиабаты или постоянная Пуассона.

Тогда . После интегрирования или:

Это есть уравнение адиабаты или уравнение Пуассона. С помощью уравнения Менделеева – Клапейрона его можно записать через другие параметры:

или .

Из рис. видно, что адиабата идет круче, чем изотерма, поскольку для любого идеального газа. Это объясняется тем, что при адиабатном сжатии увеличение давления происходит не только из-за уменьшения объема, как в изотермическом процессе, но и из-за возрастания температуры. При адиабатном расширении газа его температура уменьшается и давление падает сильнее, чем при соответствующем изотермическом расширении.

Работа в адиабатном (конечном) процессе 1-2 ( на рис. площадь под кривой)

Б-12

1. Энергия и работа. Элементарная работа и работа.

2. Распространение волн в упругой среде. Волновой фронт. Волновая поверхность.

3. Характер теплового движения молекул.

1. Энергия и робота

П усть частица под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. в общем случае сила может меняться во времени по модулю, например, но не элементарном перемещении её можно считать .

Действие силы на перемещении характеризуется физической величиной, равной скалярному произведению , которое называется элементарной работой силы на перемещении . Её можно ещё записать как , где — угол между и - элементарный путь проекция вектора на вектор

З

начит элементарная работа (*)

- величина алг. она и и и = 0 при .

Суммируя ( интегрируя ) по всем элементарным участкам пути от 1 к 2 найдем работу силы на данном пути.

.

Геометрический смысл этого выражения виден из рисунка — полоска; — площадь под прямой. Над осью работа положительна, под — отрицательна.

.

Найдем для примера работу некоторых центральных сил.

1. Р

   

   абота гравитационной или кулоновской силы вида ; —орт радиус вектора . Элементарная работа не ???? : ; — приращение модуля вектора ; .

2. Р

   

   

   

   абота упругой силы ; — радиус вектор частицы М относительно точки О. элементарная работа ; .

3. Работа сил тяжести. ; ; — приращение координаты . ; .

Работа всех этих сил не зависит от формы пути а только от положения точек 1,2. Эта особенность не всех сил. Силы трения не обладают таким свойством.

3. Характер теплового движения молекул

Если газ находится в равновесии, его молекулы движутся совершенно хаотически. Все направления движения равновероятны, ни одному из них не может быть отдано предпочтение, из-за этого молекулы будут равномерно распределены по объему. Скорости молекул могут быть самыми различными по величине. При каждом соударении с другой молекулой скорость данной молекулы может, как возрасти, так и уменьшиться с равной вероятностью. Изменение v молекулы происходит случайным образом. Скорость молекулы не может быть равной бесконечности, а также равной 0. Следовательно, очень малые и очень большие скорости молекул по сравнению со средней скоростью <v> маловероятны; скорости молекул группируются в основном вблизи некоторого наиболее вероятного значения скорости.

Например, линейный размер молекулы кислорода  4 А, объем 10^-23

см³ . При нормальных условиях на одну молекулу приходится объем  0,410^-19

см³. Т.е., молекулы встречаются редко, проходя путь  1000А между столкновениями. Т.к. скорость молекул велика, примерно 500 м/с, столкновения происходят через 10^-10 с. Удары о стенки сосуда ничего не меняют, т.к. скорость изменяется только по направлению.

Молекулы притягиваются, когда расстояние между ними имеет порядок их размеров. Значит, большую часть пути они движутся прямолинейно и равномерно. Время взаимодействия очень мало  10^-13 с, т.е., взаимодействие можно считать соударением. Большую часть «своей жизни» молекула проводит в свободном движении по инерции.

Хаотичность движения молекул наглядна, если взять сферу некоторого произвольного радиуса r с центром в т. О. Любая т. А на сфере определяет направление от О к А. След-но направление движ. мол. в нек. момент времени м.б. задан. точками на сфере. Равновероятность всех напр. приводит к тому, что точки, изображающие напр. движ. мол., распределяется по сфере с пост. плотностью, равной числу мол. N/4πr². Соударения приводит к измен. направлений движ. мол., поэтому положение N точек на сфере неопред. меняются, однако плотность точек из-за хаотичности движ. остается пост.

Можно найти какое кол-во мол. движется в напр., близких к данному (А). Таким напр. соответствуют все точки элемента пов. ΔS в окрестности т.А. В пределах ΔS будет

(*) ΔN_A = N(ΔS/4πr²) = NΔΩ/4πΔΩ тел угол, в кот. закл.напр.

Индекс А означает, что имеются ввиду мол. с направл. ≈ А. Направление ОА можно задать с помощью полярного угла θ и азимут угла φ отсчитываемых от напр. ОZ и плоск. Р₀. Разделив dS/r² получим элемент тел. угла, отвечающий инт. углов от θ до θ+dθ и от φ до φ+dφ

dΩ = sinθdθdφ

Две сферы с r и r+dr, два конуса с углами раствора θ и θ+dθ и две плоскости, образующие с Р₀ углы φ и φ+dφ образуют в пр-ве прямоуг. параллелепипед с объемом

dV = dSdr = r²sinθdrdθdφ –

элемент объема в сферической сист. коорд. (объем, отвечающий приращению корд. r, θ, φ на dr, dθ, dφ)

Перейдя от дельт и диффер. в ф-ле (*) и подставив dΩ получим

dN_v,φ = N(dΩ_vφ/4π) = Nsinθdθdφ/4π

Индексы указывают на то, что имеются в виду молекулы, напр. движ. которых отвечают интервалам углов от θ до θ+dθ и от φ до φ+dφ.

Б-13

1. Работа гравитационной силы, упругой силы и силы тяжести.

2. Уравнение плоской и сферической волн.

3. Средняя арифметическая скорость молекулы.

1. Энергия и робота

П усть частица под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. в общем случае сила может меняться во времени по модулю, например, но не элементарном перемещении её можно считать .

Действие силы на перемещении характеризуется физической величиной, равной скалярному произведению , которое называется элементарной работой силы на перемещении . Её можно ещё записать как , где — угол между и - элементарный путь проекция вектора на вектор

З

начит элементарная работа (*)

- величина алг. она и и и = 0 при .

Суммируя ( интегрируя ) по всем элементарным участкам пути от 1 к 2 найдем работу силы на данном пути.

.

Геометрический смысл этого выражения виден из рисунка — полоска; — площадь под прямой. Над осью работа положительна, под — отрицательна.

.

Найдем для примера работу некоторых центральных сил.

4. Р

   абота гравитационной или кулоновской силы вида ; —орт радиус вектора . Элементарная работа не ???? : ; — приращение модуля вектора ; .

5. Р

   
   абота упругой силы ; — радиус вектор частицы М относительно точки О. элементарная работа ; .

6. Работа сил тяжести. ; ; — приращение координаты . ; .

Работа всех этих сил не зависит от формы пути а только от положения точек 1,2. Эта особенность не всех сил. Силы трения не обладают таким свойством.

3. Средняя арифметическая скорость<v> по определению равна отношению суммы скоростей всех молекул единицы объема к числу молекул единицы объема.

Число молекул в единице объема dn_v, скорости которых заключены в интервале от v до v+dv равно nf(v)dv; Сумма скоростей всех таких молекул равна vnf(v)dv. Чтобы найти сумму скоростей всех молекул, обладающих любыми скоростям

∞

0

и, нужно это выражение прои

∞

0

нтегрировать по всем возможным значениям скорости от 0 до ∞. Следовательно, сумма всех скоростей молекул ∫vnf

∞

0

(v)dv, а <v> = 1/n∫ vnf(v)dv , т.е.,

<

∞

0

v> = ∫vf(v)dv , подставив f(v), получим:

< v> = 4/√π (m/ 2kT)^3/2∫ v³edv = 4/√π (m/2kT)^3/2∫ v²evdv

vdv = d(v²)/2, значит <v> = 4/√π (m/2kT)^3/2½∫ v²ed(v²)

Введем новую переменную Z=mv²/2kT : ½∫ v²ed(v²) = ½ (2kT/m)²∫Ze^-ZdZ, тогда, учитывая, что ∫Ze^-ZdZ =1, получим:

<v> = 4/√π (m/2kT)^3/22(kT/m)² = √8kT/πm

Б-14

1. Мощность.

2. Волновое уравнение.

3. Число ударов молекул о стенку и давление газа на стенку.

1. Мощность по определению это работа, выполненная за единицу времени. Если за промежуток времени сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени т.е. скалярное произведение и .

— скорость движения точки приложения силы.

— как и работа величина алгебраическая.

Зная можно найти работу, которая совершает сила за время

.

3. Число ударов молекул о стенку

Рассмотрим находящийся в равновесии газ, заключенный в некотором сосуде. Допустим, что молекулы газа движутся только вдоль трех взаимно ┴ направлений. Это можно допустить из-за хаотичности движения молекул. Если в сосуде находится N молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться N/3 молекул и половина из них - N/6 вдоль данного направления в одну сторону, а вторая половина - в другую. Следовательно, в интересующем нас направлении по нормали к данному элементу ΔS стенки сосуда движется N/6 молекул, а для единицы объема - , n – концентрация молекул.

Пусть все молекулы движутся с одинаковой средней скоростью <v>. За время Δt элемента стенки ΔS достигают все молекулы, находящиеся в параллелипипеде с площадью основания ΔS и длиной <v>Δt. Их число Δν = (n/6)ΔS<v>Δt, следовательно, число ударов о единичную площадку в единицу времени

Δν/ΔSΔt = (n/6)<v>.

Если отказаться от допущения, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью v = <v>, то необходимо выделить в единице объема молекулы, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv. Их число - . Количество ударов таких молекул, долетающих до площадки ΔS за время Δt равно dν_v = (1/6)(dn_vΔS

v_max

0

vΔt).

v_max

0

Полное число ударов:

Δν = dν_v = 1/6ΔSΔt vdn_v = Выражение vdn_vпо определению является средней скоростью молекулы, тогда Δν = 1/6ΔSΔtn<v> , т.е., получили то же самое значение числа ударов.

Давление газа на стенку сосуда

Давление по определению можно записать: , а поскольку, из второго закона Ньютона: , то . Значит, необходимо вычислить импульс , передаваемый всеми молекулами со всеми скоростями единице площади за единицу времени.

Число молекул со скоростью v из общего количества n, долетающих до площадки ΔS за время Δt равно:

dν_v = (1/6)(dn_vΔSvΔt)

Далее, умножив это число на импульс, сообщаемый каждой молекулой при ударе равный – 2mv, получим импульс, сообщаемый площадке ΔS за время Δt этими молекулами. Изменение импульса одной молекулы равно K₂-K₁= -2mv, значит, импульс передаваемый молекулой сте

v_max

0

нке равен +2mv.

v_max

0

Импульс, передаваемый молекулами со скоростями, лежащими в интервале от v до v +dv

равен v.

Импульс, передаваемый всеми молекулами со всеми скоростями:

K = (1/6)(dn_vΔSvΔt)2mv = 1/3 mΔSΔt v²dn_v (*)

Выражение v²dn_v представляет собой среднее значение квадрата скорости молекул, тогда, заменив в (*) интеграл и, разделив это выражение на ΔS и Δt, получим давление газа на стенку сосуда:

р = 1/3mn<v²>

т.к. m<v²>/2 = <ε_пост> по определению, получим:

р =2/3n<ε_пост>

- основное уравнение молекулярно- кинетической теории. Это уравнение раскрывает физический смысл макропараметра р: давление определяется средним значением кинетической энергии поступательного движения молекул.

Б-15

1. Консервативные силы.

2. Энергия волны. Объемная плотность энергии волны.

3. Средняя энергия молекул с учетом вращательных и колебательных степеней свободы.

1. Консервативные силы

Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и т.д. Поле сил может быть постоянным во времени, тогда оно называется стационарным. Стационарное поле в одной системе отсчета м.б. в другой. В стационарном поле сила, действующая на частицу, зависит только от её положения в пространстве.

Р абота, которую совершает сила поля по перемещению частиц из т.1 в т.2 зависит, в общем случае от формы пути между этими точками, например при действии . Однако, имеются стационарные силовые поля, в которых работа над частицей силами поля не зависит от пути между т.1 и т.2. Силы обладающими такими свойствами называются консервативными. Это свойство можно сформулировать другим способом: силы поля являются консервативными, если работа в стационарном полена любом замкнутом пути равна =0.

поскольку то . А т.к. работа не зависит от пути , то .

К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положением частицы и не равна 0 на замкнутом пути.