3 Средние скорости молекул

Пользуясь функцией распределения М., можно вычислить ряд важных в молекулярной физике величин: средней арифметической скорости <v>, средней квадратичной скорости v = √<v²> и наиболее вероятной скорости v_н.

1. Средняя арифметическая скорость<v> по определению равна отношению суммы скоростей всех молекул единицы объема к числу молекул единицы объема.

Число молекул в единице объема dn_v, скорости которых заключены в интервале от v до v+dv равно nf(v)dv; Сумма скоростей всех таких молекул равна vnf(v)dv. Чтобы найти сумму скоростей всех молекул, обладающих любыми скоростям

∞

0

и, нужно это выражение прои

∞

0

нтегрировать по всем возможным значениям скорости от 0 до ∞. Следовательно, сумма всех скоростей молекул ∫vnf

∞

0

(v)dv, а <v> = 1/n∫ vnf(v)dv , т.е.,

<

∞

0

v> = ∫vf(v)dv , подставив f(v), получим:

< v> = 4/√π (m/ 2kT)^3/2∫ v³edv = 4/√π (m/2kT)^3/2∫ v²evdv

vdv = d(v²)/2, значит <v> = 4/√π (m/2kT)^3/2½∫ v²ed(v²)

Введем новую переменную Z=mv²/2kT : ½∫ v²ed(v²) = ½ (2kT/m)²∫Ze^-ZdZ, тогда, учитывая, что ∫Ze^-ZdZ =1, получим:

<v> = 4/√π (m/2kT)^3/22(kT/m)² = √8kT/πm

2) Средняя квадратичная скорость √<v²> – отношение суммы квадратов скоростей молекул единицы объема к числу молекул в этом объеме:

<v²> = ∫ v²f(v)dv = 4π(m/2πkT) ^3/2∫ v⁴edv

берется по частям ∫ v⁴edv = 3/8(2kT/m)^5/2√π

тогда <v²> = 3kT/m; = √<v²> = √3kT/m

3)Наиболее вероятная скорость молекулы, ей соответствует max на кривой распределения М., поэтому ее находят, приравнивая производную функции нулю:

(d/dv)f(v) = d/dv[4/√π (m/2kT)^3/2v²e ] = 0

Бюююююю т.е. d/dv(v²e ) = 0, после дифференцирования получаем:

2ve(1-mv²/2kT) = 0. Это уравнение имеет три решения: v = 0; v = ∞, либо выражение в скобках равно нулю. Следовательно, v_н находят из условия:

1- mv²/2kT = 0 =>v_н = √2kT/m

Сравнивая выражения для <v>,v и v_н, видно, что

v_{ср. кв.} = √3π/8<v> = 1,13<v> = √3/2 v_н = 1,22v_н

т.е. и средняя арифметическая, и средняя квадратичная скорости близки к v_н.

Б-21

1. Закон сохранения механической энергии частицы.

2. Преобразования Лоренца.

4. Обратимые и необратимые термодинамические процессы.

1. Закон сохранения механической энергии частицы.

Из выражения следует, что в стационарном поле консервативных сил полная механическая энергия частицы может изменяться под действием только сторонних сил, отсюда вытекает закон сохранения механической энергии частицы.

Если сторонние силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной.

;

Закон сохранения позволяет решать многие вопросы, не привлекая уравнения движения, которые часто приводят к ??? расчетам.

3. 1 Обратимые и необратимые процессы

Для расширения представлений о термодинамических процессах уточним понятие обратимого процесса: процесс, совершаемый системой наз. обратимым, если после него можно возвратить систему и все тела, взаимодействующие с ней, в их начальное состояние таким образом, чтобы в других телах не возникало каких-либо остаточных изменений.

Необходимое условие обратимости терм. процесса – его равновесность, т.е. всякий обратимый процесс всегда является равновесным (квазистат). Однако не всякий равновесный процесс является обратимым. Например, квазистататический процесс равномерного движения по поверхности под действием силы тяжести и трения – процесс необратимый.

Пример обратимого процесса – незатухающие колебания тела, подвешенного на пружине в вакууме. Система тело-пружина консервативна. Ее механические колебания не вызывают никаких изменений в энергии теплового движения частиц системы. Изменение состояния системы связано с изменением ее конфигурации и скорости движения тела, которые полностью повторяются через период.

Пример необратимого процесса – торможение тела под действием силы трения. Если сила трения единственная сила, то скорость тела уменьшается и оно останавливается. При этом энергия мех движ. тела, как целого уменьш. и расходуется на увел. энергии тепл. движ. частиц тела и среды. Другими словами, за счет нач. кинет. эн. тела (W_к) растет внутрення энергия U тела и среды, нагревающихся при трении ΔU = W_к. Этот прямой процесс протекает самопроизвольно, он идет без каких либо процессов, происходящих с окружающими телами. Но для осуществления обратного процесса возвращения системы в исходное состояние необходимо, чтобы остановившееся тело вновь пришло в движение за счет энергии, выделившейся при его охлаждении и окружающей среды. Известно, что хаотическое движение тела, т.е., U не может самопроизвольно привести к упорядоченному движению всех частиц тела, как целого. Для реализации этого необходим дополнительный, так называемый компенсирующий процесс. Он заключается в охлаждении тела и окружающей среды до первоначальной Т, т.е., в отдаче ими некоторому другому телу теплоты Q = W_к и в совершении над рассматриваемым телом работы, равной W_к. Поэтому, хотя в результате прямого и обратного процесса система тело-среда возвратилась в исходное состояние, состояние внешних тел изменяется (меняется Т, затем совершается работа, т.е. меняются координаты). Следовательно, процессы сопровождающиеся трением необратимы.

Процесс теплообмена между двумя телами с разной Т приводит к выравниванию средних энергий тепл. движения частиц обоих тел. Энергия частиц более нагретого тела уменьшается, менее нагретого – увеличивается. В итоге Т₁ = Т₂. Процесс идет самопроизвольно, как только обеспечен контакт между телами. Обратный процесс – нагревание одного тела за счет охлаждения другого, имевшего вначале Т₁ = Т₂, самопроизвольно не протекает. Для него используется холодильное устройство, работа которого приводит к изменению состояния других внешних тел. Значит процесс теплообмен при конечной ΔТ является необратимым. Можно показать, что необратимыми являются процессы диффузии и растворения.

Из всех этих примеров необратимых процессов можно сделать общие выводы: Все они в прямом направлении происходят самопроизвольно, а для осуществл. обр. проц. требуется одновременное протекание компенсирующих процессов. Все реальные процессы идут с конечной скоростью и сопровождаются трением и теплообменом при конечной разности температур тел, находящихся в тепловом контакте, значит все реальные процессы, строго говоря, необратимы. Однако в некоторых случаях условия протекания процесса таковы, что их приближенно можно считать обратимыми.

Б-22

1. Кинематика вращательного движения: угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение, связь между линейной и угловой скоростью.

2. Релятивистский импульс. Основное уравнение релятивистской механики.

3. Энтропия. Энтропия идеального газа.

1. Кинематика и динамика вращательного движения.

П оворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка длина которого , а направление совпадает с осью вращения и определяется правилом правого винта: Направление должно быть таким, чтобы глядя вдоль него, мы видели поворот совершающийся по часовой стрелке.

П ри поворотах на очень малые углы, путь проходимый точкой можно считать прямолинейным, поэтому два последовательных малых поворота и (вокруг разных осей, оси в данном случае) обуславливают как видно из рис., такое же перемещение, любой точки тела, как и поворот получаемый из и сложением о правилу параллелограмма. Значит очень малые повороты можно рассматривать как векторы. Направление вектора поворота , связывается с направлением вращения тела, следовательно не является истинным вектором, а является псевдовектором.

В

екторная величина называется угловой скоростью тела направлена вдоль оси вращения, в сторону, определяемую правилом правого винта — тоже псевдовектор, модуль , если — равномерное вращение , для равномерного движения -угол поворота в единицу времени. период вращения число оборотов , а .

П онятия и можно сохранить и для неравномерного вращения, понимая под ними мгновенное вращение.

Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения оси (по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве ( по направлению). Если за получает приращение то изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением

— тоже псевдовектор.

Точки вращающегося тела имеют разные линейные скорости, которые определяют и . Если за тело повернулось на , то . Линейная скорость точки ; т.е. .

Найдем связь между векторами и . Положение для модулей точки определяет . Из рис. видно, что совпадает с по направлению, модуль равен .

Модуль нормального ускорения точек или через .

Когда ось вращения не поворачивается в пространстве, тогда тангенциальное ускорение:

; -модуль угловой скорости, т.е .

Т.о. нормальное и тангенциальное ускорение растут пропорционально .