59. Первое достаточное условие локального экстремума функции

Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой  – окрестности точки X0. Тогда, если f ’(x)>0 (f ’(x)<0) для x(X0 - ; X0) и f ’(x)<0 (f ’(x)>0) для x(X0; X0 + ) то в точке X0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум), если же f ’(x) во всей  – окрестности точки X0 имеет один и тот же знак, то в точке X0 локального экстремума нет.

Док-во: Путь f ’(x) при переходе через точку X0 меняет знак с “ + ” на “ - ” и пусть x(X0 - ; X0). Применим формулу Лагранжа к функции f(x) на отрезке [x, X0]. Получаем f(X0) – f(x) = f ’(C)  (X0 - x), где C(x, X0). Так как f ’(x) >0 на (X0 - ; X0), то f ’(C) >0, и, кроме того, X0 – x >0  f(X0) - f(x) >0 или f(X0) >f(x).

Рассмотрим теперь случай, когда x(X0; X0 + ). Применим формулу Лагранжа к функции f(x) на отрезке [X0, x]. Получаем f(x) – f(X0) = f ’(C)  (x - X0), где C(X0, x). Так как f ’(x)< 0 на (X0; X0 + ), то f ’(C)< 0, и, кроме того, X0 – x < 0  f(x) - f(X0) < 0 или f(X0) >f(x).

Из неравенств следует, что в рассматриваемой окрестности точки X0 выполняется неравенство f(X0) >f(x) при X0  x, а это означает, что в точке X0 функция f(x) имеет локальный максимум. (Минимум аналогично)

Случай, когда знак не меняется. Пусть f ’(x) >0 в некоторой окрестности (X0 - ; X0 + ); тогда (по Т о монотонности Ф) функция f(x) возрастает на (X0 - ; X0 + ), т. е. для x< X0 выполняется неравенство f(X0) >f(x), а для x >X0 - f(X0)< f(x). Это означает, что точка не является точкой локального экстремума.

60. Второе достаточное условие локального экстремума функции

Теорема: Пусть функция f(x) имеет в данной стационарной точке C конечную производную. Тогда функция f(x) имеет в точке C локальный максимум, если f ’’(x) < 0 и локальный минимум, если f(x) > 0.

Док-во: Для максимума.

Рассмотрим функцию f ’(x). Так как C стационарная точка, то f ’(C) = 0. Так как f ’’(C) < 0, т. е. (f ’(x))’ < 0, то (из достаточного условия возрастания и убывания функции в точке), что f ’(x) убывает в точке C. График функции f ’(x) имеет вид. Тогда существует такая окрестность точки, в пределах которой f ’(x) слева от точки C и f ’(x) справа от точки C. Но тогда выполняется первое достаточное условие экстремума, и функция f(x) имеет в точке C локальный максимум. (Минимум аналогично)

62. Понятие выпуклости-вогнутости. Определение промежутков выпуклости-вогнутости графика функции.

О: Будем говорить, что график функции Y=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a, b).

Теорема: Если функция Y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и f ’’(x) 0 (f ’’(x) 0)во всех точках (a, b), то график функции Y=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Док-во: Докажем для f ’’(x) 0 для x(a, b). Пусть X0 -  точка (a, b). Докажем, что график функции Y=f(x) лежит не ниже касательной, проходящей через точку M(X0, f(X0)). Уравнение касательной имеет вид Y=f(X0) + f ’(X0) (x - X0), где Y – текущая ордината касательной. Разложим функцию Y=f(x) в ряд Тейлора для n=1. Получим y =f(x) =f(X0) + (f ’(X0)/1!) (x - X0) + (f ’’()/2!) (x - X0), где (X0, x). Вычитая полученные равенства, имеем y – Y=(f ’’()/2!) (x - X0) . Так как f ’’() 0 по условию, то (f ’’()/2!) (x - X0) 0 для x(a, b)  y – Y 0  y Y для x(a, b). А это означает, что всюду на (a, b) график функции лежит не ниже касательной, проведенной через точку M(X0, f(X0)).

63-64. Понятие точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условия перегиба.

О: Точка M(X0, f(X0)) называется точкой перегиба графика функции Y=f(x), если в точке M график имеет касательную, и существует такая окрестность точки X0, в пределах которой график функции Y=f(x) слева и справа от точки X0 имеет разные направления выпуклости.

Теорема: Пусть график функции Y=f(x) имеет перегиб в точке M(X0, f(X0)) и пусть функция Y=f(x) имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда f ’’(x) в точке обращается в 0, т. е. f ’’(x)=0.

Док-во необходимость: ПП: что f ’’(X0)  0. Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки X0, в которой f ’’(X0) < 0 (f ’’(X0) > 0), и значит (по Т о направлении выпуклости) график функции Y=f(x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке M(X0, f(X0)). Это и доказывает теорему.

Теорема:Пусть функция Y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки X0. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ’’(X0) имеет разные знаки слева и справа от точки X0, то график Y=f(x) имеет перегиб в точке M(X0, f(X0)).

Док-во достаточность: Из того, что f ’’(X0) слева и справа от точки X0, имеет разные знаки, на основании теоремы о направлении выпуклости заключаем, что направление выпуклости графика функции слева и справа от точки X0 являются различными. Это и означает наличие перегиба в точке M(X0, f(X0)).

ЗАМ: теорема верна, если функция имеет II производную в окрестности точки за исключением самой точки и существует касательная к графику в этой точке.