52. Возрастание и убывание функции. Признак монотонности функции

О: Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) в точке C, если найдется такая окрестность точки C, в пределах которой f(x)>f(c) при x>c и f(x)<f(c) при x<c (f(x)<f(c) при x>c и f(x)>f(c) при x<c).

Теорема: Если функция f(x) дифференцируема в точке C и f ’(c)>0 (f ’(c)<0), то эта функция возрастает (убывает) в точке C.

Док-во: Докажем для f ’(c)>0. Так как f ’(c) = lim(f(x) – f(c))/(x – c), то по определению предела функции в точке, для (>0) (>0) такое, что |(f(x) – f(c))/(x – c)|<  при 0<|x – c|<;

f ’(c) - < (f(x) – f(c))/(x – c) < f ’(c) + . Возьмем 0 < < f ’(c). Тогда f ’(c) -  < 0 и (f(x) – f(c))/(x – c) < 0 при 0<|x – c|<, а это означает, что всюду в  – окрестности точки C f(x)>f(c) при x>c и f(x)<f(c) при x<c. Возрастание функции f(x) в точке C доказано. (Случай f ’(c)<0 аналогично)

ЗАМ: Это условие является достаточным для возрастания в точке, но не является необходимым.

О: Говорят, что функция f(x) не убывающая на промежутке (a, b), если для X1, X2(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1) f(X2).

О: Говорят, что функция f(x) не возрастающая на промежутке (a, b), если для X1, X2(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1) f(X2).

О: Говорят, что функция f(x) возрастающая на промежутке (a, b), если для X1, X2(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1)<f(X2).

О: Говорят, что функция f(x) убывающая на промежутке (a, b), если для X1, X2(a, b), X1<X2 выполняется условие f(X1)>f(X2).

Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на интервале (a, b), не убывала (не возрастала) необходимо и достаточно, чтобы для x(a, b) выполнялось условие f ’(x) 0 (f ’(x) 0).

Док-во: Докажем для f ’(x) 0. Пусть X1 и X2 две  точки (a, b) и X1<X2; тогда на отрезке [X1, X2] выполняются все условия теоремы Лагранжа, и  выполняется условие f(X2) – f(X1) = f ’(c)  (X2 - X1), где C( X1, X2). По условию, f ’(C) 0, X2 - X1>0, поэтому f(X2) – f(X1) 0 или f(X2)  f(X1), т. е. функция f(x) не убывает на (a, b). (Случай f ’(x) 0 аналогично)

Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на интервале (a, b), убывала (возрастала) достаточно, чтобы для x(a, b) выполнялось условие f ’(x) <0 (f ’(x) >0).

Док-во: Докажем для f ’(x) >0. Пусть X1 и X2 две  точки (a, b) и X1<X2; тогда на отрезке [X1, X2] выполняются все условия теоремы Лагранжа, и  выполняется условие f(X2) – f(X1) = f ’(c)  (X2 - X1), где C( X1, X2). По условию, f ’(C) >0, X2 - X1>0, поэтому f(X2) – f(X1) >0 или f(X2) > f(X1), т. е. функция f(x) не убывает на (a, b). (Случай f ’(x) <0 аналогично)

53. Экстремумы функции. Необходимое условие локального экстремума функции

О: Точка X0 – называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех x из некоторой  окрестности точки X0 выполняется неравенство f(x)<f(X0) (f(x)>f(X0)).

О: Функция f(x) имеет в точке X0 локальный экстремум, если она имеет в этой точке либо локальный максимум, либо локальный минимум.

О: Функция f(x) имеет в точке С локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки С, в пределах которой значение f(C) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции.

Теорема: Если функция f(x) имеет в точке X0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f(X0)=0.

Док-во: Пусть функция f(x) в точке X0 имеет наибольшее значение, т. е. f(x) f(X0) для х(a, b). Это значит, что Y =f(X0+X) – f(X0)  0 для  точки X0+X (a, b). Поэтому, если X>0 (т. е. x>X0), то Y/Х0 и  lim Y/Х0, т. е. f ’(X0)0, если же X<0 (т. е. x<X0), Y/Х 0и  lim Y/Х 0, т. е. f ’(X0)0. Получили, что правая производная в точке X0 неположительная, а левая – неотрицательная. По условию f ’(X0), существует и значит, f ’(X0) = f ’(X0) = f ’(X0). Это возможно только в случае, когда f ’(X0) = f ’(X0) = 0. Но тогда f ’(X0) = 0. (Для наименьшего значения аналогично)

Геометрический смысл теоремы Ферма: Если функция f(x) имеет в точке X0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, т. е. существует касательная к графику функции в точке (X0; а(X0)), то эта касательная параллельна оси ОХ.

ЗАМ: теорема не верна, если функцию рассматривать на отрезке.

Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С за исключением, может быть самой точки С. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ’(x) >0 слева от точки С и f ’(x)< 0 справа от точки С, то функция f(x) имеет в точке С локальный максимум. Если f ’(x)< 0 слева от точки С и f ’(x) >0 справа от точки С, то функция имеет в точке С локальный минимум. Если f ’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в точке С нет.