38. Производная обратной функции.

Теорема: Если функция Y=f(x) имеет в точке X0 производную f ’(X0) 0, то обратная функция X= (y) также имеет в соответствующей точке Y0 = f(X0) производную, причем ’(Y0) = 1/ f ’(X0).

Док-во: Дадим аргументу Y обратной функции X= (y) некоторое приращение Y0. Функция X=(y) получит некоторое приращение X, причем в силу возрастания (или убывания) обратной функции X0.  X /Y=1/(Y/Х) Перейдем в этом равенстве к пределу при Y0. Так как обратная функция X= (y) непрерывна в точке Y, то X0 при Y0. Но при X0 предел правой части равенства существует и равен 1/f ’(X0).  Существует предел и левой части, который по определению равен ’(Y0). Т. о. получаем ’(Y0) = 1/ f ’(X0).

39. Производные тригонометрических функций

Теорема: Производная функции Y=sin X выражается формулой Y’=cos X.

Док-во:. ∆ Т. о., при Х0

Так как , а lim cos(X+X/2) = cos X, то Y’= lim Y/X =cos X.

Теорема: Производная функции Y=cos X выражается формулой Y’= -sin X.

Док-во: Имеем Y= cos(X+X) – cos X = -2sin(X/2)  sin(X+X/2). Т. о., при Х0

Так как , а lim (-sin(X+X/2)) = -sin X, то Y’= lim Y/X =-sin X.

Теорема: Производная функции Y=tg X выражается формулой Y’=1/cos X (X/2+n, nZ).

Док-во:

Теорема: Производная функции Y=ctg X выражается формулой Y’= -1/sin X (Xn, nZ).

Док-во:

40. Производная показательной функции

Теорема: Производная функции Y=a (0<a1) выражается формулой Y’ = a ln a.

Док-во: Показательная функция Y=a является обратной для логарифмической функции X=log Y. Так как X’(y) = (1/y) log e, то (по Т о производной обрат Ф) из соотношения log b=1/log a получим Y’(x)=1/X’(Y)=Y/ log e= a ln a.

СЛЕД: Если Y=е , то Y’ = е .

41. Производная обратных тригонометрических функций

Теорема: Производная функции Y=arcsin X выражается формулой Y’=1/ (|X|<1).

Док-во: Так как функция Y=arcsin X определена на интервале –1<X<1, является обратной для функции X=sin Y, определенной в интервале -/2<Y</2 и для функции X=sin Y выполнены все условия теоремы, то по этой теореме функция Y=arcsin X дифференцируема в любой точке X=sin Y и для ее производной в этой точке справедлива формула Y’=(arcsin X)’=1/(sinY)’=1/cosY=1/ . Перед корнем поставим знак “+” в силу того, что cosY положителен на интервале -/2<Y</2. Учитывая, что X=sin Y, окончательно получаем (arcsin X)’=1/ .

Теорема: Производная функции Y=arccos X выражается формулой Y’= -1/ .

Док-во: Так как функция Y=arccos X определена на интервале –1<X<1, является обратной для функции X=cos Y, определенной в интервале 0<Y< и для функции X=cos Y выполнены все условия теоремы, то по этой теореме функция Y=arccos X дифференцируема в любой точке X=cos Y и для ее производной в этой точке справедлива формула Y’=(arccos X)’=1/(cosY)’= -1/sinY= -1/ . Перед корнем поставим знак “ - ” в силу того, что cosY положителен на интервале 0<Y<. Учитывая, что X=cos Y, окончательно получаем (arccos X)’= - 1/ .

Теорема: Производная функции Y=arctg X выражается формулой Y’=1/(1+x ).

Док-во: Так как функция Y=arctg X, определена на бесконечной прямой, является обратной для функции X=tg Y определенной на интервале -/2<Y</2, и для функции X=tg Y в окрестности каждой точки интервала -/2<Y</2 выполнены все условия теоремы, то функция Y=arctg X по этой теореме дифференцируема в каждой точке X=tg Y и для ее производной справедлива следующая формула (arctg X)’=1/(tg Y)’=1/(1/cos Y)= cos Y=1/(1+tg Y)= 1/(1+x ).

Теорема: Производная функции Y=arcctg X выражается формулой Y’= -1/(1+x ).

Док-во: Так как функция Y=arcctg X, определена на бесконечной прямой, является обратной для функции Y=ctg X определенной на интервале 0<Y<, и для функции Y=ctg X в окрестности каждой точки интервала 0<Y< выполнены все условия теоремы, то функция Y=arcctg X по этой теореме дифференцируема в каждой точке и для ее производной справедлива следующая формула

(arcctg X)’=1/(ctg Y)’=1/( -1/sin Y)= -sin Y= -1/(1+ctg Y)= -1/(1+x ).