44.Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.

Теорема: Если функции u=U(x), v=V(x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы: ; ; .

Док-во: Воспользуемся определением производной, равенством f(x+X)=f(x)+ Y и теоремой о пределах суммы, разности, произведения и частного.

Так как lim v =0 (в силу дифференцируемости, а  и непрерывности v(x)), а множители u и v не зависят от v.

Теорема: Производная функции f(x)=C выражается формулой Y’=0.

Док-во: Для х и X имеем: f = f (х +X) – f(x) = C – C = 0. Отсюда f /Х = 0/Х = 0 при Х0.  Y’= lim f /X = 0.

36. Производная сложной функции.

Теорема: Если функция X= (t) имеет производную в точке T0, а функция Y=f(x) имеет производную в соответствующей точке X0= (T0), то сложная функция f[(t)] имеет производную в точке T0 и справедлива следующая формула: Y’(T0)=f ’(X0) ’ (T0).

Док–во: Так как функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, то приращение этой функции в точке X0 может быть записано в виде Y=f ’(X0) X+(X)X, где lim (X)=0. Поделив это равенство на T (T0), получим X/Y=f ’(X0) X/T+(X) X/T. Это равенство справедливо для любых достаточно малых. Возьмем X равным приращению функции X= (t), соответствующему приращению T аргумента t в точке T0, и устремим в этом равенстве T к 0. Так как по условию X= (t) имеем в точке T0 производную, то она непрерывна в этой точке.  По определению непрерывности функции в точке, X0 при T0. Но тогда (X) 0, т. е. имеем

lim((X) X/T)=lim (X) lim(X/T)=0’ (T0)=0. В силу этого соотношения существует предел правой части равенства X/Y=f ’(X0) X/T+(X) X/T при T0, равный f ’(X0) ’ (T0).  Существует предел при T0 и левой части этого равенства, который по определению производной равен производной сложной функции Y=f[(t)] в точке T0. Т. о., дифференцируемость сложной функции доказана и установлена формула Y’(T0)=f ’(X0) ’ (T0).

37. Производная степенной и логарифмической функций.

Теорема: Производная функции Y=X , где n - целое число, выражается формулой Y’=n X .

Док-во: Используя формулу бинома Ньютона , имеем

Y= (X+X) - Х =( Х +n  X  X +((n(n – 2))/2!)  X (X) +K (X) ) - X = n X  X + +((n(n – 1))/2!)  X (X) +K(X) . Т. о., при Х0

Y/X = n  X +((n(n – 2))/2!)  X (X) + K (X) . Так как lim X=0, lim (X) =0, то Y’= lim Y/X = n  X .

Теорема: Производная функции Y=log X (0<a1) выражается формулой Y’=(1/X)log e=1/(xln a).

Док-во: Имеем Y=log (X+X) - log X = log ((X+X)/X) = log (1+X/X). Т. о., при Х0

Y/X = (1/X)  log (1+X/X) = (1/X)  (Х/X)  log (1+X/X) = (1/X)  log (1+X/X) .

Полагая Х/X=h, имеем: lim (1+X/X) = lim (1+1/h) =e. Так как логарифмическая функция является непрерывной, то Y’=lim Y/X =(1/X)  log [lim(1+X/X) ]= (1/X)  log e = 1/(Xln a).

СЛЕД: Если Y=log X =ln X, то Y’=(1/X).