38 Теорема о связи дифференцируемости функции и существованием производной

Операцию нахождения производной обычно называют дифференцированием. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.

39 Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.

Теорема: Если функция Y=f(x) дифференцируема в данной точке X0, то она и непрерывна в этой точке.

Док-во: Так как функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, то ее приращение в этой точке можно представить в виде Y=AX+(X)X. Тогда, переходя к пределу при X0 получаем limY=AlimX+lim (X)limX=0, что означает непрерывность функции Y=f(x) в точке X0 согласно определению.

Обратное утверждение неверно: функция f(x), непрерывная в точке, может не иметь производную в этой точке.

Таким образом, требование дифференцируемости функции более сильное, чем требование непрервности, поскольку из первого автоматически вытекает второе.

40. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.

Пусть функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, т. е. ее приращение Y в этой точке представимо в виде: Y=AX+(X)X, где lim (X)=0. Слагаемое AX является при X0 бесконечно малой одного порядка с X (при А0), оно линейно относительно X. Слагаемое (X) при X0 бесконечно малая более высокого порядка, чем X, так как lim ((X) X)/X = lim (X)=0. Т. о. первое слагаемое является главной частью приращения функции.

О: Дифференциалом функции Y=f(x) в точке X0 называется главная, линейная относительно X, часть приращения функции в этой точке. Обозначается dY= AX.

Если А=0, то AX не является главной частью приращения Y. Однако и в этом случае по определению дифференциал функции в точке X0 равен AX, т. е. dY=0. Можно записать дифференциал в виде dY= f ’(X0) X.

Дифференциалом независимой переменной х называют приращение этой переменной dX=X. Соотношение имеет вид dY= f ’(X0) dX. Можно вычислить f ’(X0): f ’(X0)=dY/dX.

Равенство Y/X=А+(X) можно переписать в виде у=f’(x0)•Δx +α•(Δx) = dy + α•(Δx)

П усть точка М на графике соответствует значению аргумента X0, а точка Р – значению аргумента Х0+Х. Проведем касательную MS к графику в точке М. Обозначим через  угол, образованный касательной с осью ОХ. Пусть MN || OX, PN || OY и Q – точка пересечения касательной с PN. Тогда приращение функции равно величине отрезка PN. Из треугольника MQN имеем: QN= tg X= f ’(X0) X= dY  Дифференциал функции равен величине отрезка QN. Видно, что PN и QN различны. Т. о. дифференциал dY функции f(x) в точке X0 равен приращению ординаты касательной MS к графику в точке М.

41.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними.

Функция f(x) называется бесконечно малой функцией в точке x=а, если предел ее в этой точке равен 0: lim _x→a f(x) = 0.

Аналогично определяются бесконечно малые при x→∞, x→±∞, x→a+ и х→а-

Теорема: Если функция f(x) имеет предел А в точке x=a, то функция α(х)=f(x) – А является бесконечно малой в точке а.

Доказательство: действительно, из теоремы «Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке а пределы соответственно А и В. Точка функции f(x)±g(x), f(x)•g(x) и f(x)⁄g(x) имеют в точке а пределы, равные соответственно А±В, А•В и А⁄В» вытекает, что lim _x→a α(x) = lim _x→a f(x) – lim _x→a A = А – А=0, откуда, согласно определению, следует, что α(х) – бесконечно малая функция в точке а.

Мы получаем специальное представление для функций, имеющих предел в точке х=а, через бесконечно малую функцию: f(x) = A + α(x)

Теорема: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке а, как произведение бесконечно малой на ограниченную функцию, является бесконечно малыми функциями в точке а.

Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности {х_n} значений аргумента соответствующая последовательность {f(x_n} значений функции явлеятся бесконечно большой последовательностью.

В этом случае пишут lim _x→a f(x)=∞ (lim _x→a f(x)=+∞или lim _x→a f(x)=-∞) и, говорят, что функция имеет в точке а бесконечный предел (+∞ или -∞). По аналогии с конечными односторонними пределами определены и односторонние бесконечные пределы: lim _x→a+ f(x) =+∞, lim _x→a- f(x)=-∞, lim _x→a- f(x), lim _x→a+ f(x)=-∞

Аналогично определяются бесконечно малые при x→∞, x→±∞, x→a+ и х→а-

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует та же связь, что между соответствующими последовательностями, т.е. если α(х) – бесконечно малая функция при х→а, то f(x)=1⁄α(x) – бесконечно большая функция, и наоборот.