65. Вертикальная и горизонтальная асимптоты графика функции

О: Прямая x = X0 называется вертикальной асимптотой графика функции Y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim f(x) или lim f(x) при x X0+ или X0- равно + или -.

О: Прямая y = A называется горизонтальной асимптотой графика функции Y=f(x) при x+ (x -) если lim f(x) =A.

Наклонная асимптота. Теорема о существовании наклонной асимптоты

О: Прямая Y=k x + b (k  0) называется наклонной асимптотой графика функции Y=f(x) при x+ (x - ), если функцию f(x) можно представить в виде f(x) = k x + b + (x), где (x) 0 при x+ (x - ).

Геометрический смысл наклонной асимптоты: Рассмотрим случай x+.

П усть M(x, y) – точка графика функции Y=f(x) и пусть прямая Y=k x + b является наклонной асимптотой графика функции при x+. Опустим перпендикуляры из точки М на ось абсцисс и на асимптоту. Пересечение первого перпендикуляра с осью ОХ назовем точкой N(x, Y1), а второго – точкой P. Тогда |MN|=|y - Y1|=|f(x) – (k x + b)|=| (x) | 0 при x+. d=|MP|=|MN| cos , где  – угол между асимптотой и осью ОХ, и  lim d=0.

Т. о., расстояние от точки M(x, y) графика функции до асимптоты стремится к 0 при x+, т. е. график функции неограниченно приближается к асимптоте при x+.

Теорема:Для того, чтобы график функции Y=f(x) имел при x+ асимптоту Y=k x + b, необходимо и достаточно существование пределов lim (f(x)/x) =k и lim (f(x) - k x) =b при x+.

Док-во: Необходимость: Пусть график функции Y=f(x) имеет при x+ асимптоту Y=k x + b, т. е. для f(x) справедливо представление f(x) = k x + b + (x). Тогда при x+

lim (f(x)/x) = lim ((k x + b + (x)) /x) = lim (k + b/x + (x)/x) = k и lim (f(x) - k x) = lim (b +(x)) = b.

Достаточность: Пусть существуют пределы lim (f(x)/x) =k и lim (f(x) - k x) =b при x+. Из второго равенства, что разность f(x) - k x - b является бесконечно малой при x+. Обозначим эту бесконечно малую через (x), получим для f(x) представление: f(x) = k x + b + (x). Для x -  аналогично.