30. Вторая теорема Больцано-Коши.

Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], причем f(a)=A, f(b)=B. Пусть С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на [a, b] найдется точка с такая, что f(с)=C.

Док-во: Пусть A<C<B. Рассмотрим функцию (x) = f(x) – C. (x) непрерывна на [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков: (a)=f(a) – C=A – C<0 и (b)=f(b) – C=B – C>0. Тогда (по1 Т Б-К) существует точка с(a, b) такая, что (с)=f(с) – C=0  f(с)=C.ч.т.д.

31. Понятия точной верхней и точной нижней граней функции

Число М(м) называется точной верхней(нижней) гранью функции f(x) на множестве Х, если выполнены два условия: 1) f(x) ≤ M (f(x) ≥м) для любого xX; 2) для любого числа М₁<M (m₁>m) найдется по крайней мере одна такая точка х₁X, что f(x₁)>M₁ (f(x₁)<m₁).

32. Первая теорема Вейерштрасса

Теорема: Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке. Доказательство: ПП: пусть f(x) не ограничена на [a, b]. Разделим отрезок пополам, тогда, по крайней мере, на одной из половинок функция не ограничена. Обозначим её [a1, b1]. Продолжим деление  получим систему вложенных отрезков [a, b]  [a1, b1]  [a2, b2] … [an, bn], причём длина bn - an =(b – a)/2ⁿ 0 при n. Тогда по теореме о вложенных отрезках существует единственная точка С принадлежащая всем этим отрезкам одновременно. По условию функция f(x) определена и непрерывна на [a, b], а значит она непрерывна в точке С и по лемме (функция f(x), непрерывная в точке с, ограничена в некоторой её окрестности) f(x) – ограничена на (с-, с+). При n в окрестность точки с попадает отрезок [an, bn]  f(x) ограничена на [an, bn]. Получаем противоречие, т. к. хотя бы на одном конце функция должна быть не ограничена.  f(x) ограничена на [a, b].

Замечания: теорема неверна, если отрезок заменить на интервал.

33. Вторая теорема Вейерштрасса

Теорема: Непрерывная на [a, b] функция f(x) принимает на нем свое min и max значение, т. е. существуют точки X1, X2[a, b] такие, что f(X1)=M=sup f(x) на [a, b], f(X2)=m=inf f(x) на [a, b]. Доказательство: Так как f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке (1 Т В)  Существует точная верхняя М и точная нижняя m грани функции f(x) на отрезке [a, b]. Докажем, что функция f(x) достигает М, т. е. существует точка Х1[a, b] такая, что f(X1)=M. ПП: ни в одной точке отрезка [a, b] ф-ция не достигает М, тогда для х[a, b] выполняется неравенство f(x)<M. Построим вспомогательную функцию F(x)=1/(М- f(x)). Функция F(x) положительна и непрерывна на [a, b]. Но тогда по 1 Т В F(x) ограничена на [a, b], т. е. найдется число >0 такое, что F(x)  при х[a, b]. 1/(М- f(x))    f(x)M – 1/.. Т. о. число (М – 1/) является sup f(x) на отрезке [a, b], но это противоречит тому, что М – точная верхняя грань f(x) на отрезке [a, b].  Существует точка X1[a, b], в которой f(x)=M. Ч.т.д.