26. Точки разрыва функции. Их классификация.

Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в этой точке не является непрерывной функцией.

Классификация разрывов:

1)Точки устранимого разрыва: точка х₀ – точка устранимого разрыва ф-ции f(x), если предел функции в точке х₀ существует, но функция в точке х0 либо не определена, либо имеет значение, отличное от значения предела функции в этой точке. 2)Точки разрыва I рода: точка х₀ – точка разрыва I рода ф-ции f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

3)Точки разрыва II рода: точка х₀ – точка разрыва II рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

27. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, тогда функции f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) (g(х)0) также непрерывны в этой точке.

Доказательство: Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то lim f(x)=f(х₀) и lim g(x)=g(х₀). Тогда пределы функций f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) существуют и равны f(х₀)  g(х₀), f(х₀)  g(х₀), f(х₀) g(х₀). Но эти величины равны значениям соответствующих функций в точке х₀. f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) непрерывны в точке х₀.

28. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

Теор: Пусть функция f(x) задана на множестве Х, непрерывна в точке х₀Х и f(x₀)0. Тогда существует такая -окрестность точки х_0, что для всех х(х₀-, х₀+) функция f(x) имеет тот же знак, что и f(х₀).

Док-во: Пусть f(х₀)>0. lim f(x)=f(х₀) – по определению непрерывной ф-ции в т. х₀. Тогда   (): хХ, |x- х₀|: |f(x) – f(х₀)|<. Последнее неравенство можно представить в виде f(х₀) - <f(x)<f(х₀)+. Возьмем =f(х₀)>0, тогда 0< f(x)<2f(х₀), т. е. f(х)>0 для х(х₀-, х₀+).

Если f(х₀)<0, то рассмотрим функцию –f(x). Тогда –f(х₀)>0  –f(х)>0 для х(х₀-, х₀+)  f(x)<0.

29. Первая теорема Больцано-Коши

Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [A, B] и на его концах принимает значения разных знаков. Тогда существует точка С[A, B] , в которой f(C)=0.

Доказательство: Разделим сегмент [A, B] пополам. Если значение функции в середине отрезка равно 0, то теорема доказана. В противном случае выберем ту половину, на концах которой функция имеет значение разных знаков. Обозначим его [A1, B1]. Повторим деление. Если продолжать этот процесс неограниченно, то либо на каком-то шаге к значение функции в середине отрезка [Aк, Bк] окажется равным 0. Либо получим последовательность [A, B]  [A1, B1]  [A2, B2] … [An, Bn] вложенных отрезков, причем Bn – An = (В – А)/2ⁿ 0 при n и на концах каждого из этих отрезков функция имеет значения разных знаков.  По теореме о вложенных отрезках существует точка С принадлежащая всем отрезкам. Докажем, что f(C)=0. ПП: Пусть f(C)>0, тогда существует окрестность точки С (по Т об устойчивости знака непрерыв Ф), в которой f(C)>0. В эту окрестность при большом n попадает отрезок [An, Bn]  f(An) и f(Bn) >0, а это противоречит тому, что на концах [An, Bn] функция имеет значения разных знаков, значит f(C)=0.ч.т.д.