- •1. Множества: основные понятия и определения. Способы задания множества.
- •2.Грани числ-х множ-в. Св-ва точных граней.
- •3Теорема о сущ-ии точной верхней и точной нижней грани.
- •4. Открытые и замкнутые множества. Компактность множества. Отображение.
- •4. Открытые, замкнутые множества, компактность множества, отображение.
- •5. Числовые последовательности и арифметические действия над ними.
- •7. Бесконечно-малые и –большие последовательности. Теория связи между б. М. И б. Б. Посл-ми.
- •8. Свойства БмП
- •9. Сходящиеся последовательности.
- •12. Предельный переход в неравенствах.
- •15. Число е
- •16. Теорема о вложенных промежутках.
- •17. Понятие функции. Способы задания функции.
- •18. Предел функции в точке. Правый, левый пределы функции( по Гейне и по Коши)
- •19. Предел ф-и на бесконечности( по Гейне и по Каши)
- •23. Бесконечно малые и бесконечно большие ф-и.
- •24. Сравнение бесконечно малых ф-й.
- •25. Три определения непрерывности функции в точке.
- •26. Точки разрыва функции. Их классификация.
- •27. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •28. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •29. Первая теорема Больцано-Коши
- •30. Вторая теорема Больцано-Коши.
- •31. Понятия точной верхней и точной нижней граней функции
- •32. Первая теорема Вейерштрасса
- •33. Вторая теорема Вейерштрасса
- •34. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции.
- •35. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции.
19. Предел ф-и на бесконечности( по Гейне и по Каши)
По Гейне
Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента {Хn} соответствующая последовательность значений функции {F(Xn} сходится к числу B.
По Коши
Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х, если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию |X|>, справедливо неравенство |F(X) – B|<.
По Гейне ( определенный знак)
Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х+ (при Х - ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента {Хn}, все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции {F(Xn} сходится к числу B.
По Коши( определенный знак)
Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х+ (при Х- ), если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию X> (X<), справедливо неравенство |F(X) – B|<.
20. теоремы о пределах ф-й.
Пусть две функции f(x) и g(x) заданы на одном множестве и имеют пределы в точке А, равные В и С. Тогда функции f(x)+g(x), f(x) – g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) имеют в точке А пределы равные В+С, В – С, В*С, В/С (при С0).
Док-во.
Пусть хn произвольная, сходящаяся к а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. В силу определения предела функции по Гейне соответствующие последовательности значений функции {f(xn )} и {g(xn)} сходятся к пределам b и c соответственно, но тогда по теоремам последовательности {f( xn ) +g( xn )},{f( xn ) -g( xn )}, {f( xn )*g(xn )},{f( xn ) /g(xn )} сходятся к пределам b+c, b-c, b*c, b\c (c0) соответственно. А это в силу произвольности последовательности значения аргумента, сходящейся к а и в силу определения функции по Гейне означает, что функция f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)*g(x) и f(x)\g(x) имеют в точке а пределы, соответственно равные b+c, b-c, b*c, b\c (c.
Теорема о трех функциях Пусть функции f(x), g(x), h(x) определены в некоторой окрестности точки а, за исключением быть может самой точки а, и функции f(x) и h(x) имеют в точке а предел равный b, т.е
lim f(x) = lim h(x)= b .
ха ха
Пусть кроме того выполняется неравенство f(x) g(x) h(x) для всех хХ. тогда lim g(x) в точке а=b
Док-во.
Пусть {хn} произвольная, сходящаяся к а последовательностей значений аргумента функций f(x) и h(x), все элементы которой отличны от а. В силу определения предела функции по Гейне соответствующие последовательности значений функций {f(xn)}и {h(xn)} имеют предел, равный b. Используя неравенства, данные в условии теоремы, можно записать f(xn)≤h(xn)≤g(xn) для всех n N. Но тогда по теореме последовательность {g( xn)} сходятся к b. В силу произвольности последовательности значений аргумента {xn}, сходящейся к а, и в силу определения предела функции по Гейне это означает , что lim g(x) =b.
ха