
- •1. Множества: основные понятия и определения. Способы задания множества.
- •2.Грани числ-х множ-в. Св-ва точных граней.
- •3Теорема о сущ-ии точной верхней и точной нижней грани.
- •4. Открытые и замкнутые множества. Компактность множества. Отображение.
- •4. Открытые, замкнутые множества, компактность множества, отображение.
- •5. Числовые последовательности и арифметические действия над ними.
- •7. Бесконечно-малые и –большие последовательности. Теория связи между б. М. И б. Б. Посл-ми.
- •8. Свойства БмП
- •9. Сходящиеся последовательности.
- •12. Предельный переход в неравенствах.
- •15. Число е
- •16. Теорема о вложенных промежутках.
- •17. Понятие функции. Способы задания функции.
- •18. Предел функции в точке. Правый, левый пределы функции( по Гейне и по Коши)
- •19. Предел ф-и на бесконечности( по Гейне и по Каши)
- •23. Бесконечно малые и бесконечно большие ф-и.
- •24. Сравнение бесконечно малых ф-й.
- •25. Три определения непрерывности функции в точке.
- •26. Точки разрыва функции. Их классификация.
- •27. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •28. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •29. Первая теорема Больцано-Коши
- •30. Вторая теорема Больцано-Коши.
- •31. Понятия точной верхней и точной нижней граней функции
- •32. Первая теорема Вейерштрасса
- •33. Вторая теорема Вейерштрасса
- •34. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции.
- •35. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции.
15. Число е
Рассмотрим {xn} xn= ( 1+ 1\n)n , т. е. послед-ть сост из эл-в (1+1)1, (1+1\2)2 , (1=1\3)3
Док-во: Докажем, что она сходится. Для этого достаточно доказать, что она возрастающая и ограниченная.
Докажем, что последовательность {Xn} возрастающая, т. е. для n Xn<Xn+1.
Разложим по формуле бинома Ньютона.
Xn = (1+1/n)n = 1+(n/1!) (1/n) + (n (n – 1)/2!) (1/n)2 + (n (n – 1) (n – 2)/3!) (1/n)3+…+(n (n – 1) (n – 2)) …(n – (n – 1))/n!) (1/n) n= 2+(1/2!) (1 – 1/n)+(1/3!) (1 – 1/n) (1 – 2/n)+…+(1/n!) (1 – 1/n) (1 – 2/n) …(1 – (n – 1)/n)
Аналогично для Xn+1. Для любого 0<k<n выполняется соотношение (1 – 1/k)<(1 – 1/(k+1)). В выражении для Xn+1 каждое слагаемое больше, чем соответствующее слагаемое в выражении для Xn. Xn< Xn+1 для любого n. {Xn} – возрастающая последовательность.
Докажем, что последовательность {Xn} – ограничена сверху. Рассмотрим выражение для Xn. Т.к. (1-1\n)<1 ; (1-2\n)<1; …; (1-(n-1)\n)< 1, то Xn<2+1/2!+1/3!+…+1/n!<1+1+1/2+1/4+1/8+…+1/2=1+(1 – (1/2)т)/(1 – (1/2)n) = 1+2(1 – (1/2)n) = 3 – 1/2n-1. Для n 2≤Xn<3 и последовательность {Xn} ограничена сверху. По Т. о монотонности огр. последовательности она является сходящейся. Ее предел на бесконечности равен е.
ОПР1: Число е – иррациональное, это число не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа называются трансцендентными.
16. Теорема о вложенных промежутках.
. Пусть дана последовательность отрезков [a1,b1], … , [an, bn], … таких, что каждый последующий содержится в предыдущем [a1,b1]>[an, bn]> и пусть lim ( bn –an )=0
n-∞
Такая последовательность называется последовательностью вложенных отрезков.
Теорема. Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам.
17. Понятие функции. Способы задания функции.
Пусть заданы два множества Х и У, если каждому элементу хХ поставлен в соответствие по вполне определенному закону f единственный элемент уУ, обозначаемый f(x) и если каждый элемент уУ при этом оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному элементу хХ, то говорят что на множестве Х задана однозначная функция у=f(x).
Существуют три способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Функция задана аналитически, если закон устанавливающий соответствие между множеством всех значений аргумента и множеством всех значений функции задается посредством формул. Табличный способ -заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции.
При графическом способе задания функции соответствие между элементом и функцией задается посредством графика
18. Предел функции в точке. Правый, левый пределы функции( по Гейне и по Коши)
Опр-е по Гейне
Число B называется пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любой последовательности значений аргумента Х1, Х2,…, Хn,…, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, отличных от А, соответствующая последовательность значений функции F(X1), F(X2),…,F(Xn),… сходится к числу B.
Опр-е по Коши.
Число B называется пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию 0<|X – A|<, справедливо неравенство |F(X) – B|<.
Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любой последовательности значений аргумента {Хn}, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, больших (меньших) А, соответствующая последовательность значений функции F(Xn) сходится к числу B.
Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию А<X<А+ (А - <X<А), справедливо неравенство |F(X) – B|<.
Теорема. Функция f(x) имеет предел в точке А тогда только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и оно равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Док-во
Пусть lim f(x)= lim f(x)= b,
xa- xa+
тогда по определению левого и правого предела ф-й для любого >0 существуют числа 1 >0 и 2 >0, такие что для всех эл-в Х, удовлетворяющих ус-м
а-1 < x < a и a< x < a + 2 выполняется неравенство |f(x)-b | < .
Возьмем = min {1, 2 }, тогда для всех х ,удовлетворяющих условию 0<|x-a|< будет выполняться неравенство |f(x)-b|< , а это означает , что lim f(x)= b
ха
Пусть lim f(x)= b, тогда
ха
по определению предела ф-и по Коши для любого положит числа найдется отвечающее ему положит число , такое что для всех значений х , удовлетворяющих условию 0<|x-a|<
|f(x)-b|< тем самым как для а- < x < a , так и для a< x < a + справедливо неравенство |f(x)-b|<, а это по определению односторонних пределов означает, что lim f(x)= lim f(x)= b
ха- ха+