15. Число е

Рассмотрим {x_n} x_n= ( 1+ 1\n)ⁿ , т. е. послед-ть сост из эл-в (1+1)¹, (1+1\2)² , (1=1\3)3

Док-во: Докажем, что она сходится. Для этого достаточно доказать, что она возрастающая и ограниченная.

Докажем, что последовательность {Xn} возрастающая, т. е. для n Xn<Xn+1.

Разложим по формуле бинома Ньютона.

Xn = (1+1/n)ⁿ = 1+(n/1!) (1/n) + (n (n – 1)/2!) (1/n)² + (n (n – 1) (n – 2)/3!) (1/n)³+…+(n (n – 1) (n – 2)) …(n – (n – 1))/n!) (1/n) ⁿ= 2+(1/2!) (1 – 1/n)+(1/3!) (1 – 1/n) (1 – 2/n)+…+(1/n!) (1 – 1/n) (1 – 2/n) …(1 – (n – 1)/n)

Аналогично для Xn+1. Для любого 0<k<n выполняется соотношение (1 – 1/k)<(1 – 1/(k+1)).  В выражении для Xn+1 каждое слагаемое больше, чем соответствующее слагаемое в выражении для Xn.  Xn< Xn+1 для любого n.  {Xn} – возрастающая последовательность.

Докажем, что последовательность {Xn} – ограничена сверху. Рассмотрим выражение для Xn. Т.к. (1-1\n)<1 ; (1-2\n)<1; …; (1-(n-1)\n)< 1, то Xn<2+1/2!+1/3!+…+1/n!<1+1+1/2+1/4+1/8+…+1/2=1+(1 – (1/2)^т)/(1 – (1/2)ⁿ) = 1+2(1 – (1/2)n) = 3 – 1/2^n-1.  Для n 2≤Xn<3 и последовательность {Xn} ограничена сверху. По Т. о монотонности огр. последовательности она является сходящейся. Ее предел на бесконечности равен е.

ОПР1: Число е – иррациональное, это число не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа называются трансцендентными.

16. Теорема о вложенных промежутках.

. Пусть дана последовательность отрезков [a1,b1], … , [an, bn], … таких, что каждый последующий содержится в предыдущем [a1,b1]>[an, bn]> и пусть lim ( b_n –a_n )=0

^n-∞

Такая последовательность называется последовательностью вложенных отрезков.

Теорема. Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

17. Понятие функции. Способы задания функции.

Пусть заданы два множества Х и У, если каждому элементу хХ поставлен в соответствие по вполне определенному закону f единственный элемент уУ, обозначаемый f(x) и если каждый элемент уУ при этом оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному элементу хХ, то говорят что на множестве Х задана однозначная функция у=f(x).

Существуют три способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Функция задана аналитически, если закон устанавливающий соответствие между множеством всех значений аргумента и множеством всех значений функции задается посредством формул. Табличный способ -заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции.

При графическом способе задания функции соответствие между элементом и функцией задается посредством графика

18. Предел функции в точке. Правый, левый пределы функции( по Гейне и по Коши)

Опр-е по Гейне

Число B называется пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любой последовательности значений аргумента Х1, Х2,…, Хn,…, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, отличных от А, соответствующая последовательность значений функции F(X₁), F(X₂),…,F(X_n),… сходится к числу B.

Опр-е по Коши.

Число B называется пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию 0<|X – A|<, справедливо неравенство |F(X) – B|<.

Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любой последовательности значений аргумента {Хn}, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, больших (меньших) А, соответствующая последовательность значений функции F(Xn) сходится к числу B.

Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при Х^А), если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию А<X<А+ (А - <X<А), справедливо неравенство |F(X) – B|<.

Теорема. Функция f(x) имеет предел в точке А тогда только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и оно равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Док-во

Пусть lim f(x)= lim f(x)= b,

^{xa- xa+}

тогда по определению левого и правого предела ф-й для любого >0 существуют числа ₁ >0 и ₂ >0, такие что для всех эл-в Х, удовлетворяющих ус-м

а-₁ < x < a и a< x < a + ₂ выполняется неравенство |f(x)-b | <  .

Возьмем  = min {₁, ₂ }, тогда для всех х ,удовлетворяющих условию 0<|x-a|< будет выполняться неравенство |f(x)-b|< , а это означает , что lim f(x)= b

^ха

Пусть lim f(x)= b, тогда

^ха

по определению предела ф-и по Коши для любого положит числа  найдется отвечающее ему положит число , такое что для всех значений х , удовлетворяющих условию 0<|x-a|<

|f(x)-b|< тем самым как для а- < x < a , так и для a< x < a +  справедливо неравенство |f(x)-b|<, а это по определению односторонних пределов означает, что lim f(x)= lim f(x)= b

^{ха- ха+}